Що таке похідна

Що таке похідна

Похідна функція — базовий елемент диференціального числення, який є результатом застосування якої-небудь операції диференціювання до вихідної функції.

Інструкція

Назва функції походить від слова «вироблена», тобто утворена від іншої величини. Процес визначення похідної будь-якої функції називається диференціюванням. Поширений спосіб представлення та визначення — через теорію меж, хоча вона виникла пізніше диференціального числення. Відповідно до цієї теорії похідна — це межа відносини збільшення функції до приросту аргументу, якщо така межа існує, за умови, що аргумент прагне до нуля. Вважається, що вперше термін «похідна» вжив відомий російський математик В. І. Висковатов.

Щоб знайти похідну функції f в точці x, необхідно визначити значення цієї функції в точці х і в точці x + Δx, де Δx — приріст аргументу х. Знайти приріст функції y = f (x + Δx) — f (x). Записати похідну через межу відношення f ‘= lim (f (x + Δx) — f (x)) / Δx, обчислити при Δx → 0.

Прийнято позначати похідну знаком апостроф «’» над дифференцируемой функцією. Один апостроф — перша похідна, два — друга, похідна вищого порядку задається відповідною цифрою, наприклад, f ^ (n) — похідна n-го порядку, де n — ціле число ≥ 0. Похідна нульового порядку є сама дифференцируемая функція.

Для полегшення диференціювання складних функцій були розроблені правила диференціювання:

C ‘= 0, де С — константа;

x ‘= 1;

(F + g) ‘= f’ + g ‘;

(C * f) ‘= C * f’ і т.д.

Для N-кратного диференціювання застосовна формула Лейбніца: (f * g) ^ (n) = Σ C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k — Біноміальні коефіцієнти.

Деякі властивості похідної:

1) Якщо функція дифференцируема на деякому інтервалі, то вона неперервна на цьому інтервалі;

2) По лемі Ферма: якщо функція має локальний екстремум (мінімум / максимум) у точці х, то f (x) = 0;

3) У різних функцій можуть бути однакові похідні.

Геометричний зміст похідної: якщо функція f має кінцеву похідну в точці х, то значення цієї похідної дорівнюватиме тангенсу кута нахилу дотичної до функції f в цій точці.

Фізичний зміст похідної: перша похідна до функції русі тіла — миттєва швидкість, друга похідна — миттєве прискорення. Аргумент функції — момент часу.

Економічний зміст похідної: перша похідна від обсягу виробленої продукції в певний момент часу є продуктивність праці.