Що таке тригонометричні тотожності

Що таке тригонометричні тотожності

Тригонометрія — розділ математики для вивчення функцій, що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали називання тригонометричних, а для спрощення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності.

Інструкція

Поняття тотожності в математиці означає рівність, яке виконується при будь-яких значеннях аргументів входять до нього функцій. Тригонометричні тотожності — це рівності тригонометричних функцій, доведені і прийняті для полегшення роботи з тригонометричними формулами.

Тригонометрична функція — це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше використовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) і cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також зворотні функції, наприклад, синус — арксинус, косинус — арккосинус і т.д.

Спочатку тригонометричні функції знайшли відображення в геометрії, потім поширилися в інші області науки: фізику, хімію, географію, оптику, теорію ймовірностей, а також акустику, теорію музики, фонетику, комп’ютерну графіку і багато інших. Тепер уже важко уявити собі математичні розрахунки без цих функцій, хоча в далекому минулому вони використовувалися лише в астрономії та архітектури.

Тригонометричні тотожності застосовуються для полегшення роботи з довгими тригонометричними формулами і приведення їх до легкотравному увазі. Основних тригонометричних тотожностей шість, вони пов’язані з прямими тригонометричними функціями:

• tg α = sin α / cos α;

• sin ^ 2α + cos ^ 2α = 1;

• 1 + tg ^ 2α = 1/cos ^ 2α;

• 1 + 1/tg ^ 2α = 1/sin ^ 2α;

• sin (π / 2 — α) = cos α;

• cos (π / 2 — α) = sin α.

Ці тотожності легко довести з властивостей співвідношення сторін і кутів у прямокутному трикутнику:

sin α = BC / AC = b / c; cos α = AB / AC = a / c; tg α = b / a.

Перше тотожність tg α = sin α / cos α випливає з співвідношення сторін у трикутнику і виключенням боку c (гіпотенузи) при розподілі sin на cos. Таким же чином визначається тотожність ctg α = cos α / sin α, оскільки ctg α = 1/tg α.

За теоремою Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Розділимо це рівність на c ^ 2, отримаємо друге тотожність:

a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => sin ^ 2 α + cos ^ 2 α = 1.

Третє і четверте тотожності отримує шляхом поділу, відповідно, на b ^ 2 і a ^ 2:

a ^ 2 / b ^ 2 + 1 = c ^ 2 / b ^ 2 => tg ^ 2 α + 1 = 1/cos ^ 2 α;

1 + b ^ 2 / a ^ 2 = c ^ 2 / a ^ 2 => 1 + 1/tg ^ 2 α = 1/sin ^ α або 1 + ctg ^ 2 α = 1/sin ^ 2 α.

П’яте і шосте основні тотожності доводяться через визначення суми гострих кутів прямокутного трикутника, яка дорівнює 90 ° або π / 2.

Більш складні тригонометричні тотожності: формули додавання аргументів, подвійного і потрійного кута, зниження ступеня, перетворення суми або добутку функцій, а також формули тригонометричної підстановки, а саме вираження основних тригонометричних функцій через tg половинного кута:

sin α = (2 * tg α / 2) / (1 + tg ^ 2 α / 2);

cos α = (1 — tg ^ 2 α / 2) / (1 = tg ^ 2 α / 2);

tg α = (2 * tg α / 2) / (1 — tg ^ 2 α / 2).