Як брати інтеграл


 

Поняття «взяття інтеграла» тісно пов’язане з перебуванням первісної функції. Функція F (x) називається первісною до f (x), якщо її похідна F ‘(x) дорівнює f (x). Так як похідна будь константи дорівнює нулю, то і первісних у f (x) буде нескінченно багато. Всі вони збігаються між собою з точністю до константи. Традиційне позначення невизначеного інтеграла представлено на рис.1.


Вам знадобиться

Таблиця найпростіших інтегралів.

Інструкція


  1. Як брати інтеграл

                            У математиці існує досить велика кількість способів «взяти» інтеграл. У даній статті коротко розглянуті ті з них, які прийнято називати найпростішими прийомами інтегрування. Ці прийоми використовують властивості невизначених інтегралів і тотожні перетворення подинтегральной функції.
  2. 1. Безпосереднє інтегрування.

    Безпосереднє інтегрування полягає в обчисленні інтегралів за допомогою їх певних властивостей і спеціальних таблиць.

    Приклад 1. Обчислити інтеграл ∫ (4 / (cosx ^ 2) — 3cosx +2 / (x-1)) dx

    Рішення. ∫ (4 / (cosx ^ 2) — 3cosx +2 / (x-1)) dx = 4 ∫ dx / (cosx ^ 2) — 3 ∫ cosxdx +2 ∫ dx / (x-1) = 4tgx-3sinx + 2ln | x-1 | + C.
        

  3. Тепер можна розглянути правило, яке дозволяє розширити можливості іcпользованія таблиці основних інтегралів.

    Якщо ∫ f (x) dx = F (x) + C, то ∫ f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C

    Приклад 2. ∫ sin (5x) dx = — (1/5) cos (5x) + C.
        

  4. 2. Розкладання подинтегральной функції.

    Даний прийом полягає в перетворенні подинтегральной функції, використовуючи формули алгебри та тригонометрії. Підінтегральна функція представляється у вигляді суми функцій, інтеграли від яких можна легко брати.

    Приклад 3. ∫ (1 + (cosx) ^ 2 / (1 + cos (2x)) dx = [1 + cos (2x) = 2 (cosx) ^ 2] = ∫ (1 + (cosx) ^ 2/2 (cosx) ^ 2) dx =
    = (1/2) ∫ 1 / (cosx) ^ 2) dx + (1/2) ∫ dx = (1/2) (tgx + x) + C.

    Приклад 4. ∫ dx / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) = ∫ ((sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2) / ((sinx) ^ 2) (cosx) ^ 2)) dx = ∫ (1 / (cosx) ^ 2 +1 / (sinx) ^ 2) dx = tgx-ctgx + C.
        

  5. 3. Підведення під знак диференціала.

    Цей прийом заснований на властивості інваріантності формул інтегрування. Підінтегральна функція перетвориться до виду f (u (x)) u ‘(x), а потім співмножник u’ (x) підводиться під знак диференціала (інтегрується) — u ‘(x) dx = d (u (x)), після чого застосовується формула ∫ (f (u (x)) du (x)) = u (x) + C.

  6. Приклад 5. ∫ (arctgx / (1 + x ^ 2)) dx = | dx / (1 + x ^ 2) = d (arctgx) | = ∫ (arctgxd (arctgx)) = (1/2) (arctgx) ^ 2 + C.

    Приклад 6. ∫ xsqrt (1-x ^ 2) dx = | d (1-x ^ 2) =-2xdx | = — (1/2) ∫ ((1-x ^ 2) ^ (1/2 +1)) / (1/2 +1) + C = — (1/3) sqrt ((1-x ^ 2) ^ 3) + C.

    Приклад 7. ∫ ((cosx) ^ 3) sin (2x) dx = 2 ∫ (cosx) ^ 3) cosxsinxdx = -2 ∫ ((cosx) ^ 4) d (cosx) = — (2/5) (cosx) ^ 5 + C.