Матрична алгебра — розділ математики, присвячений вивченню властивостей матриць, їх застосування для вирішення складних систем рівнянь, а також правилам дій над матрицями, включаючи розподіл.
Інструкція
- Існує три дії над матрицями: додавання, віднімання та множення. Розподіл матриць, як таке, дією не є, але його можна представити у вигляді множення першої матриці на матрицю, зворотну до другої:
A / B = A · B ^ (-1).
-
Тому операція ділення матриць зводиться до двох дій: пошуку зворотної матриці і множенню її на першу. Зворотною називається така матриця A ^ (-1), яка при множенні на A дає одиничну матрицю.
- Формула зворотної матриці: A ^ (-1) = (1 / Δ) • B, де Δ — визначник матриці, який повинен бути відмінний від нуля. Якщо це не так, то зворотна матриця не існує. B — матриця, що складається з алгебраїчних доповнень вихідної матриці А.
-
Наприклад, виконайте розподіл заданих матриць.
- Знайдіть матрицю, зворотну до другої. Для цього обчисліть її визначник і матрицю алгебраїчних доповнень. Запишіть формулу визначника для квадратної матриці третього порядку:
Δ = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a21 · a32 · a13 — a31 · a22 · a13 — a12 · a21 · a33 — a11 · a23 · a32 = 27.
- Визначте алгебраїчні доповнення за вказаними формулами:
A11 = a22 • a33 — a23 • a32 = 1 • 2 — (-2) • 2 = 2 + 4 = 6;
A12 = — (a21 • a33 — a23 • a31) = — (2 • 2 — (-2) • 1) = — (4 + 2) = -6;
A13 = a21 • a32 — a22 • a31 = 2 • 2 — 1 • 1 = 4 — 1 = 3;
A21 = — (a12 • a33 — a13 • a32) = — ((-2) • 2 — 1 • 2) = — (-4 — 2) = 6;
A22 = a11 • a33 — a13 • a31 = 2 • 2 — 1 • 1 = 4 — 1 = 3;
A23 = — (a11 • a32 — a12 • a31) = — (2 • 2 — (-2) • 1) = — (4 + 2) = -6;
A31 = a12 • a23 — a13 • a22 = (-2) • (-2) — 1 • 1 = 4 — 1 = 3;
A32 = — (a11 • a23 — a13 • a21) = — (2 • (-2) — 1 • 2) = — (-4 — 2) = 6;
A33 = a11 • a22 — a12 • a21 = 2 • 1 — (-2) • 2 = 2 + 4 = 6.
-
Розділіть елементи матриці алгебраїчних доповнень на величину визначника, рівну 27. Таким чином, ви отримали матрицю, зворотну до другої. Тепер завдання зводиться до множення першої матриці на нову.
-
Виконайте множення матриць за формулою C = A * B:
c11 = a11 • b11 + a12 • b21 + a13 • b31 = 1/3;
c12 = a11 • b12 + a12 • b22 + a13 • b23 = -2 / 3;
c13 = a11 • b13 + a12 • b23 + a13 • b33 = -1;
c21 = a21 • b11 + a22 • b21 + a23 • b31 = 4/9;
c22 = a21 • b12 + a22 • b22 + a23 • b23 = 2/9;
c23 = a21 • b13 + a22 • b23 + a23 • b33 = 5/9;
c31 = a31 • b11 + a32 • b21 + a33 • b31 = 7/3;
c32 = a31 • b12 + a32 • b22 + a33 • b23 = 1/3;
c33 = a31 • b13 + a32 • b23 + a33 • b33 = 0.
