Як дізнатися радіус кривизни

Як дізнатися радіус кривизни

Нехай задана функція, визначена рівнянням y = f (x) і відповідним графіком. Потрібно знайти радіус її кривизни, тобто виміряти ступінь викривленості графіка цієї функції в деякій точці x0.

Інструкція

  1. Кривизна будь-якої лінії визначається швидкістю повороту її дотичної в точці x при русі цієї точки по кривій. Оскільки тангенс кута нахилу дотичної дорівнює значенню похідної від f (x) в цій точці, то швидкість зміни цього кута повинна залежати від другої похідної.
  2. Еталоном кривизни логічно прийняти коло, оскільки вона рівномірно викривлена ​​на всьому своєму протязі. Радіус такої окружності є міра її кривизни.

    За аналогією, радіусом кривизни заданої лінії в точці x0 називається радіус кола, яке найбільш точно вимірює ступінь її викривленості в цій точці.
  3. Необхідна окружність повинна стикатися із заданою кривою у точці x0, тобто розташовуватися з боку її угнутості так, щоб дотична до кривої в цій точці була також і дотичної до кола. Це означає, що якщо F (x) — рівняння кола, то повинні виконуватися рівності:

    F (x0) = f (x0),

    F ‘(x0) = f’ (x0).

    Таких кіл, очевидно, існує нескінченно багато. Але для вимірювання кривизни необхідно вибрати ту, яка найбільш точно відповідає заданої кривої в цій точці. Оскільки кривизна вимірюється другої похідної, то до цих двох равенствам необхідно додати ще й третє:

    F»(x0) = f»(x0).
  4. Виходячи з цих співвідношень, радіус кривизни обчислюється за формулою:

    R = ((1 + f ‘(x0) ^ 2) ^ (3 / 2 ))/(| f»(x0) |).

    Величина, зворотна радіусу кривизни, називається кривизною лінії в даній точці.
  5. Якщо f»(x0) = 0, то радіус кривизни дорівнює нескінченності, тобто лінія в цій точці не викривлена. Це завжди вірно для прямих, а також для будь-яких ліній в точках перегину. Кривизна в таких точках, відповідно, дорівнює нулю.
  6. Центр окружності, що вимірює кривизну лінії в заданій точці, називається центром кривизни. Лінія, що є геометричним місцем для всіх центрів кривизни заданої лінії, називається її еволюти.