Як досліджувати безперервність функції

Як досліджувати безперервність функції

Безперервність — одне з основних властивостей функцій. Рішення про те, безперервна дана функція чи ні, дозволяє судити про інші властивості досліджуваної функції. Тому так важливо досліджувати функції на неперервність. У даній статті розглянуті основні прийоми дослідження функцій на неперервність.

Інструкція

  1. Отже, почнемо з визначення безперервності. Воно свідчить про таке:

    Функція f (x), визначена в деякій околиці точки a, називається безперервної в цій точці, якщо

    lim f (x) = f (a)

    x-> a
  2. Розберемося, що це означає. По-перше, якщо функція не визначена в даній точці, то сенсу говорити про безперервність немає. Функція розривна і крапка. Наприклад, всім відома f (x) = 1 / x не існує в нулі (ділити на нуль ні в якому разі не можна), от і розрив. Це ж стосуватиметься і більш складних функцій, в які не можна підставити деякі значення.
  3. По-друге, є інший варіант. Якщо ми (або хтось для нас) склав функцію зі шматочків інших функцій. Наприклад, таку:

    f (x) = x ^ 2-4, x <-1

    3x, -1 <= x <3

    5, x> = 3

    У такому випадку нам треба зрозуміти, вона неперервна або розривним. Як це зробити?
  4. Це варіант більш складний, тому що потрібно встановити безперервність на всій області визначення функції. В даному випадку областю визначення функції є вся числова вісь. Тобто від мінус-нескінченності до плюс-нескінченності.

    Для початку скористаємося визначенням безперервності на проміжку. Ось воно:

    Функцію f (x) називають безперервної на відрізку [a; b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a; b) і, крім того, безперервна справа в точці a і зліва в точці b.
  5. Отже, щоб визначити безперервність нашої складної функції, треба відповісти для себе на кілька запитань:

    1. Чи визначені взяті функції на заданих інтервалах?

    У нашому випадку відповідь позитивна.

    Значить, точки розриву можуть бути лише в точках зміни функції. Тобто в точках 1 і 3.
  6. 2. Тепер потрібно досліджувати безперервність функції в цих точках. Ми вже знаємо, як це робиться.

    Спершу потрібно знайти значення функції в цих точках: f (-1) =- 3, f (3) = 5 — функція визначена в цих точках.

    Тепер потрібно знайти правий і лівий межі для цих точок.

    lim f (-1) =- 3 (межа зліва існує)

    x-> -1 -

    lim f (-1) =- 3 (межа справа існує)

    x-> -1 +

    Як бачимо, правий і лівий межі для точки -1 збігаються. Значить, функція неперервна в точці -1.
  7. Проробимо те ж саме для точки 3.

    lim f (3) = 9 (межа існує)

    x-> 3 -

    lim f (3) = 5 (межа існує)

    x-> 3 +

    А тут межі не збігаються. Це означає, що в точці 3 функція розривна.

    От і все дослідження. Бажаємо успіхів!

Корисні поради

Завжди під час аналізу на безперервність необхідно пам’ятати, що більшість відомих нам функцій безперервні. До них відносяться лінійна, квадратична, показова і тригонометричні функції.