Як досліджувати функцію і побудувати її графік

Як досліджувати функцію і побудувати її графік

Дослідження функцій — важлива частина математичного аналізу. Хоча обчислення меж і побудова графіків можуть здатися складною роботою, вони, тим не менш, допомагають вирішити безліч важливих математичних задач. Дослідження функцій найкраще проводити за розробленою і перевіреною методикою.

Інструкція

  1. Знайдіть область визначення функції. Наприклад, функція sin (x) визначена на всьому інтервалі від — ∞ до + ∞, а функція 1 / x — на інтервалі від — ∞ до + ∞ за винятком точки x = 0.
  2. Визначте області безперервності і точки розриву. Звичайно функція неперервна в тій же самій галузі, де вона визначена. Щоб виявити розриви, потрібно обчислити межі функції при наближенні аргументу до ізольованим точкам всередині області визначення. Наприклад, функція 1 / x прямує до нескінченності, коли x → 0 +, і до мінус нескінченності, коли x → 0 -. Це означає, що в точці x = 0 вона має розрив другого роду.

    Якщо межі в точці розриву кінцеві, але не рівні, то це розрив першого роду. Якщо ж вони рівні, то функція вважається безперервною, хоча в ізольованій точці вона і не визначена.
  3. Знайдіть вертикальні асимптоти, якщо вони є. Тут вам допоможуть обчислення попереднього кроку, оскільки вертикальна асимптота практично завжди знаходиться в точці розриву другого роду. Однак іноді з області визначення бувають виключені не окремі точки, а цілі інтервали точок, і тоді вертикальні асимптоти можуть розташовуватися на краях цих інтервалів.
  4. Перевірте, чи має функція особливими властивостями: парність, непарність і періодичністю.

    Функція буде парною, якщо для будь-якого x в області визначення f (x) = f (-x). Наприклад, cos (x) і x ^ 2 — парні функції.
  5. Непарність функції означає, що для будь-якого x в області визначення f (x) =-f (-x). Наприклад, sin (x) і x ^ 3 — непарні функції.
  6. Періодичність — властивість, що говорить про те, що є якесь число T, зване періодом, таке, що для будь-якого xf (x) = f (x + T). Наприклад, всі основні тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс) — періодичні.
  7. Знайдіть точки екстремуму. Для цього обчисліть похідну від заданої функції і знайдіть ті значення x, де вона звертається в нуль. Наприклад, функція f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 має похідну g (x) = 3x ^ 2 + 18x, яка звертається в нуль при x = 0 і x = -6.
  8. Щоб визначити, які точки екстремуму є максимумами, а які мінімумами, відстежити зміну знаків похідної в знайдених нулях. g (x) змінює знак з плюса на мінус в точці x = -6, а в точці x = 0 назад з мінуса на плюс. Отже, функція f (x) в першій точці має максимум, а в другій — мінімум.
  9. Таким чином, ви знайшли і області монотонності: f (x) монотонно зростає на проміжку — ∞; -6, монотонно убуває на -6; 0 і знову зростає на 0; + ∞.
  10. Знайдіть другу похідну. Її коріння покажуть, де графік заданої функції буде опуклим, а де — увігнутим. Наприклад, другої похідної від функції f (x) буде h (x) = 6x + 18. Вона звертається в нуль при x = -3, змінюючи при цьому знак з мінуса на плюс. Отже, графік f (x) до цієї точки буде опуклим, після неї — увігнутим, а сама ця точка буде точкою перегину.
  11. У функції можуть бути й інші асимптоти, крім вертикальних, але тільки в тому випадку, якщо в її область визначення входить нескінченність. Щоб їх знайти, обчисліть межа f (x), коли x → ∞ або x → — ∞. Якщо він кінцевий, то ви знайшли горизонтальну асимптоту.
  12. Похила асимптота — пряма виду kx + b. Щоб знайти k, обчисліть межа f (x) / x при x → ∞. Щоб знайти b — межа (f (x) — kx) при тому ж x → ∞.
  13. Побудуйте графік функції з обчисленим даними. Позначте асимптоти, якщо вони є. Позначте точки екстремуму і значення функції в них. Для більшої точності графіка обчисліть значення функції ще в кількох проміжних точках. Дослідження завершено.