Як досліджувати на збіжність ряд

Як досліджувати на збіжність ряд

Однією з найбільш важливих завдань математичного аналізу є дослідження ряду на збіжність ряду. Ця задача є розв’язуваної в більшості випадків. Найважливіше — знати основні ознаки збіжності, вміти застосовувати їх на практиці і вибирати для кожного ряду потрібний.

Вам знадобиться

Підручник з вищої математики, таблиця ознак збіжності

Інструкція

  1. За визначенням ряд називається збіжним, якщо існує таке кінцеве число, яке явно більше суми елементів цього ряду. Іншими словами, ряд сходиться, якщо сума його елементів кінцева. Виявити той факт, є сума кінцевої або нескінченної допоможуть ознаки збіжності ряду.
  2. Одним з найпростіших ознак збіжності є ознака збіжності Лейбніца. Його ми можемо використати, якщо розглянутий ряд є знакозмінних (тобто кожен наступний член ряду змінює знак з «плюса» на «мінус»). За ознакою Лейбніца, знакозмінний ряд є збіжним в разі, якщо останній член ряду за модулем прагне до нуля. Для цього в межі функції f (n) спрямовуємо n до нескінченності. Якщо ця межа дорівнює нулю, то ряд сходиться, в іншому випадку — розходиться.
  3. Ще один поширений спосіб перевірити ряд на збіжність (расходимость) — використання граничного ознаки Даламбера. Для його використання ми ділимо n-ий член послідовності на попередній ((n-1)-ий). Це ставлення ми обчислюємо, його результат беремо по модулю (n знову спрямовуємо до нескінченності). Якщо ми отримуємо число менше одиниці — ряд сходиться, інакше — ряд розходиться.
  4. Радикальний ознака Даламбера чимось схожий на попередній: ми витягуємо корінь n-го ступеня з n-ого її члена. Якщо ми отримуємо в результаті число, менше одиниці, то послідовність сходиться, сума її членів — кінцеве число.
  5. У ряді випадків (коли ми не можемо застосувати ознака Даламбера) вигідно скористатися інтегральним ознакою Коші. Для цього заносимо функцію ряду під інтеграл, диференціал беремо по n, розставляємо межі від нуля до нескінченності (такий інтеграл називається невласним). Якщо чисельне значення цього невласного інтеграла дорівнює кінцевому числу, то ряд є збіжним.
  6. Іноді для того щоб дізнатися, до якого типу належить ряд, необов’язково користуватися ознаками збіжності. Можна просто порівняти його з іншим сходящимся поруч. Якщо ряд менше завідомо сходящегося ряду, то він також є збіжним.