Як довести неперервність функції

Як довести неперервність функції

Функція називається безперервної, якщо в її відображенні відсутні скачки при малих змінах аргументу між цими точками. Графічно така функція зображується суцільною лінією, без пропусків.

Інструкція

  1. Доказ безперервності функції в точці здійснюється за допомогою так званих ε-Δ-міркувань. ε-Δ визначення звучить так: нехай x_0 належить безлічі X, тоді функція f (x) неперервна в точці x_0, якщо для будь-якого ε> 0 існує таке Δ> 0, що з | x — x_0 |

    Інше визначення безперервності: функція f (x) є неперервною в точці x = x_0, якщо приріст функції в цій точці нескінченно мало. Тобто f (x) = f (x_0) + α (x), де α (x) — нескінченно мала величина при x, що прагне до x_0.
  2. Приклад 1: доведіть безперервність функції f (x) = x ^ 2 в точці x_0.

    Доказ

    За ε-Δ визначенням існує таке ε> 0, що | x ^ 2 — x_0 ^ 2 |

    | X ^ 2 — x_0 ^ 2 | = | x ^ 2 — 2 * x * x_0 + x_0 ^ 2 + 2 * x_0 * x — 2 * x_0 ^ 2 | = | (x — x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x — x_0) |
  3. Вирішіть квадратне рівняння (x — x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x — x_0) — ε = 0. Знайдіть дискримінант D = √ (4 * x_0 ^ 2 + 4 * ε) = 2 * √ (| x_0 | ^ 2 + ε). Тоді корінь дорівнює | x — x_0 | = (-2 * x_0 + 2 * √ (| x_0 | ^ 2 + ε)) / 2 = √ (| x_0 | ^ 2 + ε). Отже, функція f (x) = x ^ 2 безупинна при | x — x_0 | = √ (| x_0 | ^ 2 + ε) = Δ.
  4. Деякі елементарні функції є неперервними на всій області визначення (множині значень X):

    f (x) = C (константа); все тригонометричні функції — sin x, cos x, tg x, ctg x і пр.
  5. Приклад 2: доведіть безперервність функції f (x) = sin x.

    Доказ

    За визначенням безперервності функції з її нескінченно малому збільшенню запишіть:

    Δf = sin (x + Δx) — sin x.
  6. Перетворіть за формулою для тригонометричних функцій:

    Δf = 2 * cos ((x + Δx) / 2) * sin (Δx / 2).

    Функція cos обмежена при x ≤ 0, а межа функції sin (Δx / 2) прагне до нуля, отже, вона є нескінченно малою при Δx → 0. Твір обмеженою функції і нескінченно малоq величини, а значить і збільшення вихідної функції Δf також є нескінченною малою величиною. Отже, функція f (x) = sin x неперервна для будь-якого значення x.