Як довести, що діагоналі в трапеції рівні


 

Щоб швидко і правильно вирішувати геометричні завдання, треба добре засвоїти, що представляє собою фігура або геометричне тіло, про яке йде мова і знати їх властивості. Деяка частина нескладних геометричних задач побудована саме на цьому.



Інструкція

  1. Для початку необхідно згадати, що таке трапеція і якими властивостями вона володіє. Трапеція — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні. Паралельні сторони є підставами трапеції, а дві інші — її бічними сторонами. Якщо бічні сторони трапеції рівні, то вона називається равнобочной. Кути при підставах равнобочной трапеції попарно рівні, тобто кут АВС дорівнює куту ВСD, а кут ВАD дорівнює куту СDА.
  2. Діагоналі ділять трапецію на трикутники. Для доказу рівності діагоналей равнобочной трапеції необхідно розглянути трикутники АВС і ВСD і довести, що вони рівні між собою, оскільки діагоналі АС і ВD одночасно є сторонами даних трикутників.
  3. Сторона АВ трикутника АВС дорівнює стороні СD трикутника ВСD, оскільки вони є одночасно бічними сторонами равнобочной трапеції (тобто за умовою). Кут АВС трикутника АВС дорівнює куту ВСD трикутника ВСD, оскільки вони є кутами, що лежать при підставі трапеції (властивість равнобочной трапеції). Сторона НД є спільною для обох трикутників.
  4. Таким чином, є два трикутника з двома рівними сторонами і рівними кутами, укладеними між ними. Отже трикутник АВС дорівнює трикутнику ВСD за першою ознакою рівності трикутників.
  5. Якщо трикутники рівні, то рівні і їх відповідні сторони, тобто сторона АС дорівнює стороні ВD і, оскільки вони одночасно є діагоналями равнобочной трапеції, їх рівність доведено.
  6. Для доказу можна використовувати трикутники АВD і АСD, які також рівні між собою за першою ознакою рівності трикутників. В цьому випадку доказ аналогічно.
  7. Твердження, що діагоналі рівні, справедливо тільки для равнобочной трапеції.