Базисом в n-мірному просторі називається така система з n векторів, коли всі інші вектори простору можна представити у вигляді комбінації векторів, що входять в базис. У тривимірному просторі в будь базис входять три вектора. Але не будь-які три утворюють базис, тому й існує задача перевірки системи векторів на можливість побудови з них базису.
Вам знадобиться
— вміння обчислювати визначник матриці
Інструкція
- Нехай в лінійному n-мірному просторі існує система векторів e1, е2, е3, … , Еn. Їх координати: e1 = (e11; e21; e31; …; en1), е2 = (Е12; е22; Е32; …; еn2), … , Еn = (e1n; e2n; e3n; …; enn). Щоб дізнатися, чи утворюють вони базис в цьому просторі, складіть матрицю зі стовпцями e1, е2, е3, … , Еn. Знайдіть її визначник і порівняйте його з нулем. Якщо визначник матриці з цих векторів не дорівнює нулю, то такі вектори утворюють базис в даному n-мірному лінійному просторі.
-
Наприклад, нехай дано три вектора в тривимірному просторі a1, a2 і a3. Їх координати: а1 = (3; 1, 4), а2 = (-4; 2, 3) і а3 = (2; -1; -2). Треба з’ясувати, чи утворюють ці вектора базис у тривимірному просторі. Складіть матрицю з векторів, як показано на малюнку.
-
Обчисліть визначник отриманої матриці. На малюнку зображений простий спосіб обчислення визначника матриці 3 на 3. Елементи, з’єднані лінією, слід перемножити. При цьому твори, позначені червоною лінією входять в загальну суму зі знаком «+», а з’єднані синьою лінією — зі знаком «-».
det A = 3 * 2 * (-2) + 1 * 2 * 3 + 4 * (-4) * (-1) — 2 * 2 * 4 — 1 * (-4) * (-2) — 3 * 3 * (-1) = -12 + 6 + 16 — 16 — 8 + 9 = -5
-5 ≠ 0, отже, а1, а2 і а3 утворюють базис.
