Як довести теорему Піфагора

Як довести теорему Піфагора

Теорема Піфагора — це теорема геометрії, що встановлює зв’язок між сторонами прямокутного трикутника. Теорема — це твердження, для якого в даній теорії існує доказ. На даний момент існує понад 300 способів доведення теореми Піфагора, однак як базовий елемент шкільної програми використовується доказ через подібні трикутники.

Вам знадобиться

сторінка зошити в клітку
лінійка
олівець

Інструкція

  1. Теорема Піфагора звучить наступним чином: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Геометрична формулювання вимагає ще й поняття площі: в прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
  2. Накресліть прямокутний трикутник з вершинами A, B, C, де кут C — прямий. Сторону BC позначте a, сторону AC позначте b, сторону AB позначте c.
  3. Проведіть висоту з кутка C і позначте її підставу через H. Трикутники подібні, якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника. Кут H — прямий, так само, як і кут C. Отже, трикутник ACH подібний трикутнику ABC з двох кутах. Трикутник CBH також подібний трикутнику ABC з двох кутах.
  4. Складіть рівняння, де a відноситься до c, як HB відноситься до а. Відповідно, b відноситься до c, як AH відноситься до b.
  5. Розв’яжіть ці рівняння. Для того щоб розв’язати рівняння, помножте чисельник дробу на знаменник правої лівої дробу, а знаменник правої дробу — на чисельник дробу лівої. Отримуємо: a у квадраті = сHB, b у квадраті = cAH.
  6. Складіть ці два рівняння. Отримуємо: a у квадраті + b у квадраті = c (HB + AH). Так як HB + AH = c, то в результаті повинно вийти: a у квадраті + b у квадраті = c в квадраті. Що й було потрібно довести.

Зверніть увагу

Гіпотенуза — це найдовша сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куті.

Катети — це дві інші сторони прямокутного трикутника, що утворюють прямий кут.

Висота проводиться з прямого кута до гіпотенузі таким чином, щоб вийшов прямий кут.

Корисні поради

Геометричних доказів теореми Піфагора існує безліч. «Піфагорові штани» — це простонародне назва докази Евкліда, яке грунтується на рівності суми площ квадратів, заснованих на катетах прямокутних трикутників і на кресленні нагадують чоловічі штани.