Як намалювати фігуру, не відриваючи руки

Як намалювати фігуру, не відриваючи руки

Математик Леонард Ейлер одного разу задумався над питанням, чи можна перейти через усі мости в тому місті, де він тоді жив, так, щоб ні через один міст не проходити двічі? Це питання поклав початок новій захоплюючій задачі: якщо дана геометрична фігура, як накреслити її на папері одним розчерком пера, не проводячи двічі ні одну лінію?

Інструкція

  1. Фігура, яку можна накреслити однією лінією, не відриваючи руку від паперу, називається унікурсальной. Далеко не всі геометричні фігури володіють цією властивістю.
  2. Передбачається, що задана фігура складається з точок, з’єднаних прямими або викривленими відрізками. Отже, в кожній такій точці сходиться певне число відрізків. Такі постаті в математиці прийнято називати графами.
  3. Якщо в точці сходиться парне число відрізків, то і саму таку точку називають парному вершиною. Якщо число відрізків непарне, то вершина називається непарної. Наприклад, квадрат, в якому проведено обидві діагоналі, володіє чотирма непарними вершинами і однієї парної — в точці перетину діагоналей.
  4. У відрізка за визначенням два кінці, і отже, він завжди з’єднує дві вершини. Тому, підсумувавши всі вхідні відрізки для всіх вершин графа, можна отримати тільки парне число. Отже, яким би не був граф, непарних вершин в ньому завжди буде парна кількість (у тому числі нуль).
  5. Граф, у якому зовсім немає непарних вершин, завжди можна накреслити, не відриваючи руки від паперу. При цьому все одно, з якої вершини починати.

    Якщо непарних вершин всього дві, то такий граф теж унікурсален. Шлях обов’язково повинен починатися в одній з непарних вершин, а закінчитися — в інший з них.

    Фігура, в якій непарних вершин чотири або більше, не унікурсальна, і без повторень ліній накреслити її не вдасться. Наприклад, той же квадрат з проведеними діагоналлю не унікурсален, так як у нього чотири непарних вершини. Але квадрат з одного діагоналлю або «конверт» — квадрат з діагоналями і «кришечкою» — можна накреслити однією лінією.
  6. Щоб вирішити задачу, потрібно уявити, що кожна проведена лінія зникає з фігури — другий раз по ній пройти не можна. Отже, зображуючи унікурсальную фігуру, потрібно стежити, щоб решта роботи не розпадалася на не пов’язані між собою частини. Якщо таке трапиться, довести справу до кінця вже не вийде.