Як обчислити число пі

Як обчислити число пі

Грецькою буквою π (пі, pi) прийнято позначати відношення довжини кола до його діаметру. Це число, спочатку з’явившись у працях давніх геометрів, згодом виявилося дуже важливим в дуже багатьох галузях математики. А значить, його потрібно вміти обчислювати.

Інструкція

  1. π — ірраціональне число. Це означає, що його неможливо представити у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником. Більше того, π — трансцендентне число, тобто воно не може бути вирішенням ніякого алгебраїчного рівняння. Таким чином, точне значення числа π записати неможливо. Однак є методи, що дозволяють обчислити його з будь-якою вимагається ступенем точності.
  2. Найдавніші наближення, якими користувалися геометри Греції та Єгипту, кажуть, що π приблизно дорівнює квадратному кореню з 10 або дробу 256/81. Але ці формули дають значення π, рівне 3,16, а цього явно недостатньо.
  3. Архімед та інші математики обчислювали π за допомогою складної і трудомісткої геометричній процедури — вимірювання периметрів вписаних і описаних многокутників. Отримане ними значення дорівнювало 3,1419.
  4. Ще одна наближена формула визначає, що π = √ 2 + √ 3. Вона дає значення для π, приблизно рівне 3,146.
  5. З розвитком диференціального обчислення і інших нових математичних дисциплін у розпорядженні вчених з’явився новий інструмент — статечні ряди. Готфрід Вільгельм Лейбніц у 1674 році виявив, що нескінченний ряд

    1 — 1 / 3 + 1 / 5 — 1 / 7 + 1 / 9 … + (1 / (2n +1) * (-1) ^ n

    в межі сходиться до суми, що дорівнює π / 4. Обчислювати цю суму просто, однак, щоб досягти достатньої точності, знадобиться багато кроків, оскільки ряд сходиться дуже повільно.
  6. Згодом були виявлені й інші степеневі ряди, що дозволяють обчислювати π швидше, ніж за допомогою ряду Лейбніца. Наприклад, відомо, що tg (π / 6) = 1 / √ 3, отже, arctg (1 / √ 3) = π / 6.

    Функція арктангенса розкладається в степеневий ряд, і для заданого значення ми в результаті отримуємо:

    π = 2 √ 3 * (1 — (1 / 3) * (1 / 3) + (1 / 5) * (1 / 3) ^ 2 — (1 / 7) * (1 / 3) ^ 3 … + 1 / ((2n + 1) * (-3) ^ n) …)

    За допомогою цієї та інших аналогічних формул число π було обчислено вже з точністю до мільйонів знаків після коми.
  7. Для більшості практичних розрахунків цілком достатньо знати число π з точністю до семи знаків після коми: 3,1415926. Його можна легко запам’ятати за допомогою мнемонічною фрази: «Три — чотирнадцять — п’ятнадцять — дев’яносто два і шість».