Як обчислити діагональ


 

Діагональ з’єднує несуміжні вершини багатокутника, кількість сторін якого не менше чотирьох. Обчислюють цю величину через початкові або проміжні дані завдання, використовуючи відповідні формули.



Інструкція

  1. У будь-якої замкнутої геометричної фігури, що складається не менше ніж з чотирьох відрізків, можна провести як мінімум дві діагоналі. Саме стільки діагоналей може мати чотирикутник: паралелограм, прямокутник, ромб і квадрат.
  2. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо відомо, що одна з них більше іншої на 1, а довжини сторін дорівнюють a = 5 і b = 7. На цей рахунок у геометрії є готова формула, згідно з якою сума квадратів довжин діагоналей дорівнює подвоєною сумі квадратів сторін:

    d1 ² + d2 ² = 2 • (a ² + b ²) = 2 • (25 + 49) = 148.


  3. Підставте d2 = d1 +1:

    d1 ² + (d1 +1) ² = 148
    2 • d1 ² + 2 • d1 + 1 = 148.


  4. Вирішити таке рівняння щодо невідомої d1:

    2 • d1 ² + 2 • d1 — 147 = 0
    D = 4 + 4 • 2 • 147 = 1180
    d1 = (-2 + √ 1180) / 4 ≈ 8,1 → d2 = 9,1.


  5. Формула для прямокутника спрощується, оскільки його діагоналі рівні між собою:

    2 • d ² = 2 • (a ² + b ²) = 2 • (25 + 49) = 148 → d ² = 74 → d ≈ 8,6.


  6. У разі квадрата справи ще простіше, його діагоналі не тільки мають рівну довжину, а й прямо пропорційні стороні:

    2 • d ² = 4 • a ² → d ² = 2 • a ² → d = √ 2 • a = [a = 5] = √ 2 • 5 ≈ 7.


  7. Ромб — окремий випадок паралелограма з рівними сторонами, однак на відміну від квадрата діагоналі не рівні між собою. Припустимо, що сторона ромба a = 5, а довжина однієї з діагоналей дорівнює 3. Тоді:

    d1 ² + 9 = 4 • 25 → d1 = 9.


  8. Діагоналі можна провести не тільки в плоскій фігурі, але і в просторовій. Наприклад, в паралелепіпеді. Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда (або його окремого випадку — куба) дорівнює сумарній величині квадратів трьох його вимірів. Вимірами називаються ребра, що мають одну загальну вершину.
  9. Діагоналей не має трикутник і його тривимірний варіант — тетраедр, оскільки у них відсутні несуміжні вершини. Кількість же діагоналей в будь-якому n-многоугольнике можна визначити наступним чином:

    nd = (n ² — 3 • n) / 2.