Як обчислити діагоналі ромба


 

Ромб — стандартна геометрична фігура, що складається з чотирьох вершин, кутів, сторін, а також двох діагоналей, які перпендикулярні один одному. Виходячи з цієї властивості, можна обчислити їх довжини за формулою для чотирикутника.



Інструкція

  1. Щоб обчислити діагоналі ромба, досить скористатися загальновідомою формулою, справедливою для будь-якого чотирикутника. Вона полягає в тому, що сума квадратів довжин діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири:
    d1 ² + d2 ² = 4 • a ².
      
  2. Полегшити рішення геометричних задач з цією фігурою допоможе знання деяких властивостей, притаманних ромбу та пов’язаних з довжинами його діагоналей:
    • Ромб є окремим випадком паралелограма, отже, протилежні сторони у нього також попарно паралельні й рівні;
    • Діагоналі точкою перетину діляться навпіл, а кут між ними — прямий;
    • Кожна діагональ ділить навпіл кути, вершини яких єднає, будучи їх биссектрисами і одночасно медианами трикутників, утворених двома суміжними сторонами ромба та іншої діагоналлю.
      
  3. Формула для діагоналей є прямим наслідком з теореми Піфагора. Розгляньте один з трикутників, одержані в результаті поділу ромба діагоналями на чотири частини. Він — прямокутний, це випливає з властивостей діагоналей ромба, крім того, довжини катетів дорівнюють половин діагоналей, а гіпотенуза — це сторона ромба. Значить, згідно теоремі:
    d1 ² / 4 + d2 ² / 4 = a ² → d1 ² + d2 ² = 4 • a ².
      
  4. В залежності від початкових даних задачі, можуть бути зроблені додаткові проміжні дії, щоб визначити невідому величину. Наприклад, знайдіть діагоналі ромба, якщо відомо, що одна з них перевищує довжину сторони на 3 см, а інша в півтора рази більше.
      
  5. Рішення.
    Висловіть довжини діагоналей через сторону, яка в даному випадку невідома. Позначте її за x, тоді:
     d1 = x +3; d2 = 1,5 • x.
      
  6. Запишіть формулу для діагоналей ромба:
    d1 ² + d2 ² = 4 • a ²
      
  7. Підставте отримані вирази і складіть рівняння з однією змінною:
    (X + 3) ² + 9/4 • x ² = 4 • x ²
      
  8. Приведіть його до квадратному і вирішіть:
    x ² — 8 • x — 12 = 0
    D = 64 + 48 = 110
    x1 = (8 + √ 110) / 2 ≈ 9,2; x2
    Очевидно, що сторона ромба дорівнює 9,2 см. Тоді d1 = 11,2 см; d2 = 13,8 см.