Як обчислити диференціал


 

Диференціал — одне з центральних понять математичного аналізу як один з методів вивчення властивостей функцій. Щоб обчислити диференціал, необхідно знайти похідну того ж порядку, а потім помножити її на прирощення аргументу.



Інструкція

  1. Щоб обчислити диференціал du, знайдіть похідну того ж порядку і помножте на диференціал незалежної змінної dх. У випадку декількох аргументів U (х, у, z) по кожному з них визначте приватну похідну (приймаючи інші за постійні). Підсумувавши всі величини, ви отримаєте повний диференціал:

    dU = ∂ u / ∂ х • dх + ∂ u / ∂ у • dу + ∂ u / ∂ z • dz.


  2. Для спрощення роботи з диференціалами були введені деякі найбільш поширені формули. Наприклад:

    • dС = 0, С — константа;
    • для u = х ^ а — du = а • х ^ (а-1) dх;
    • якщо u = а ^ х, то du = а ^ х • ln а dх;
    • d (lоg_а х) = (1 / (х • ln а)) dх, в окремому випадку d (ln х) = (1 / х) dх;
    • d (sin х) = cоs х dх;
    • d (cоs х) = — sin х dх;
    • d (tg х) = (1/cоs ² х) dх;

    і т.д.


  3. Крім того, існують правила розрахунку диференціалів сум, різниці, добутку і частки двох функцій:

    • d (u ± g) = du ± dg;
    • d (u • g) = gdu + udg;
    • d (u / g) = (gdu — udg) / g ².


  4. Приклад: нехай у = х ³ — 12 • х ² + х • tgх + ln (2 • х).
  5. Рішення

    Подивіться, які правила і теореми можна використовувати в даному випадку. Тригонометрична функція tg х і логарифм ln (2 • х) є табличними величинами, похідні яких легко знайти за основними формулами диференціювання:

    (tg х) ‘= (1/cоs ² х); (ln 2х)’ = 2 / х.


  6. Також у вираженні функції у присутня твір х • tg х, продіфференціруйте його згідно правилу:

    d (х • tg х) = tg х • (х’dх) + х • (tg х) ‘dх = (tg х + х / cоs ² х) dх.


  7. Отже, у ‘= 3 • х ² — 24 • х + tg х + х / cоs ² х + 2 / х → dу = (3 • х ² — 24 • х + tg х + х / cоs ² х + 2 / г) dх.
  8. Застосування понять диференціала і похідної функції виходить за рамки математичних обчислень. Вони широко використовуються в різних прикладних областях, наприклад, в механіці швидкість матеріальної точки дорівнює диференціалу шляху, який є функцією за часом. В економіці таким чином визначають граничні величини, інструменти операційного аналізу для оцінки ефективності виробничої стратегії.