Як обчислити дисперсію і математичне сподівання


 

Дисперсія і математичне очікування є основними характеристиками випадкової події при побудові ймовірнісної моделі. Ці величини пов’язані між собою і в сукупності становлять основу для статистичного аналізу вибірки.



Інструкція

  1. Будь випадкова величина має цілу низку числових характеристик, що визначають її ймовірність і ступінь відхилення від істинного значення. Це початкові і центральні моменти різного порядку. Перший початковий момент називається математичним очікуванням, а центральний момент другого порядку — дисперсією.
      
  2. Математичне сподівання випадкової величини являє собою її середнє очікуване значення. Також цю характеристику називають центром розподілу ймовірностей і знаходять шляхом інтегрування за формулою Лебега-Стільтьеса:
    m = ∫ xdf (x), де f (x) — функція розподілу, значеннями якої є ймовірності елементів безлічі x ∈ X.
      
  3. Виходячи з початкового визначення інтеграла функції, математичне сподівання можна представити у вигляді інтегральної суми числового ряду, члени якого складаються з пар елементів множин значень випадкової величини і її вірогідності в цих точках. Пари пов’язані операцією множення:
    m = Σxi • pi, інтервал підсумовування складає i від 1 до ∞.
      
  4. Наведена формула є наслідком з інтеграла Лебега-Стільтьеса для випадку, коли аналізована величина X дискретна. Якщо ж вона целочисленная, то обчислити математичне сподівання можна через виробляє функцію послідовності, яка дорівнює першій похідній функції розподілу ймовірностей при x = 1:
    m = f ‘(x) = Σk • p_k при 1 ≤ k

  5. Дисперсія випадкової величини використовується для оцінки середнього значення квадрата її відхилення від математичного очікування, а точніше — її розкиду навколо центру розподілу. Таким чином, ці дві величини виявляються пов’язаними формулою:
    d = (x — m) ².
      
  6. Підставивши в неї вже відоме уявлення математичного очікування у вигляді інтегральної сумі, можна обчислити дисперсію наступним чином:
    d = Σpi • (xi — m) ².