Як обчислити довжину діагоналі


 

Діагональ — відрізок, що з’єднує дві вершини якої фігури, не лежать на одній стороні. Для обчислення її довжини найчастіше використовується теорема Піфагора чи теорема косинусів.



Інструкція


  1. Як обчислити довжину діагоналі

                            Прямокутні чотирикутники (прямокутник, квадрат) діагональ ділить на два прямокутних трикутника, в кожному з яких вона буде гіпотенузою. Отже, для її обчислення можливе застосування теореми Піфагора. a ² = b ² + c ², де a — гіпотенуза, b і с — катети.

    Приклад 1: знайдіть діагональ AC, якщо відомо, що довжина BC = 3 см, AB = 5 см.
    Рішення: обчисліть гіпотенузу AC в прямокутному трикутнику ABC. AC ² = AB ² + BC ²; AC ² = 5 ² +3 ² = 34; з отриманого значення витягніть квадратний корінь: AC = √ 34 = 5,8 см.
    Відповідь: діагональ прямокутника дорівнює 5,8 см.
        



  2. Як обчислити довжину діагоналі

                            Якщо перед вами квадрат, то обчислити діагональ можна, знаючи одну з його сторін або площа. Т.к. всі сторони квадрата рівні, то теорема Піфагора для нього буде мати вигляд: a ² = b ² + b ², a ² = 2b ². Площа — твір двох сторін (S = b ²). Значить, квадрат гіпотенузи (у фігурі квадрат) дорівнює його подвоєною площі (a ² = 2S).

    Приклад 2: площа квадрата 16 см ². Знайдіть довжину діагоналі.
    Рішення: обчисліть довжину діагоналі а через площу. a ² = 2S, a ² = 2 * 16 см ² = 32; витягніть корінь квадратний: a = √ 32 ≈ 5,7 см.
    Відповідь: довжина діагоналі квадрата — 5,7 см.
        



  3. Як обчислити довжину діагоналі

                            У деяких випадках для обчислення діагоналі необхідно робити додаткові побудови.
    Приклад 3: рівносторонній багатокутник із стороною, що дорівнює 6 см, кут BCD прямій. Знайдіть довжину діагоналі AB.
    Рішення: з’єднайте точки B і D. Вийшов прямокутний трикутник BCD, в якому сторона BD є гіпотенузою. Обчисліть гіпотенузу BD: BD ² = BC + CD ²; BD ² = 6 ² +6 ² = 72; Гіпотенуза BD із трикутника BCD є катетом в трикутнику ABD. А діагональ AB — гіпотенуза в ньому. Обчисліть діагональ AB: AB ² = BD ² + AD ² = 72 +36 = 108; AB = √ 108 = 10,4 см.
    Відповідь: довжина діагоналі AB = 10,4 см.
        

  4. Як обчислити довжину діагоналі

                            Діагональ куба можна знайти через діагональ однієї з його граней.
    Приклад 4: куб зі стороною 5 см. Знайдіть діагональ куба.
    Рішення: добудуйте і обчисліть діагональ грані куба. AC ² = 5 ² +5 ² = 50. Діагональ AC перпендикулярна ребру CB, отже, кут ACB — прямий. Діагональ куба AB — гіпотенуза в трикутнику ACB. Знайдіть довжину діагоналі куба: AB ² = AC ² + CB ² = 50 +25 = 75; витягніть квадратний корінь. AB = √ 75 = 8,7 см.
    Відповідь: довжина діагоналі куба — 8,7 см.
        

  5. Як обчислити довжину діагоналі

                            Для обчислення діагоналей паралелограма використовують теорему косинусів: c ² = a ² + b ²-2ab * cosγ.
    Приклад 5: a = 2 см, b = 3 см, γ = 120 °. Знайдіть діагональ с.
    Рішення: підставте значення в формулу. c ² = 2 ² +3 ² -2 * 2 * 3 * cos120 °; cos120 ° знайдіть за таблицею косинусів (-0,5). з ² = 4 +9-12 * (-0,5) = 13 — (-6) = 19. З цього значення витягніть корінь: з = √ 19 = 4,35 см.
    Відповідь: довжина діагоналі с = 4,35 см.