Як обчислити довжину гіпотенузи


 

Гіпотенуза — математичний термін, що зустрічається при розгляді прямокутних трикутників. Це найбільша з його сторін, протилежних прямому куті. Обчислити довжину гіпотенузи можна різними способами, в тому числі по теоремі Піфагора.


Інструкція

  1. Трикутник є найпростішою замкнутої геометричної фігурою, що складається з трьох вершин, кутів і сторін, кожна з яких має свою назву. Гіпотенуза і два катета — сторони прямокутного трикутника, довжини яких пов’язані між собою і з іншими величинами різними формулами.
  2. Найбільш часто для того, щоб обчислити довжину гіпотенузи, задачу зводять до застосування теореми Піфагора, яка звучить так: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Отже, її довжина знаходиться обчисленням квадратного кореня з цієї суми.
  3. Якщо відомий тільки один катет і величина одного з двох кутів, які не є прямими, то можна скористатися тригонометричними формулами. Припустимо, даний трикутник ABC, в якому AC = c — гіпотенуза, AB = a і BC = b — катети, α — кут між a і c, β — кут між b і c. Тоді:

    c = a / cosα = a / sinβ = b / cosβ = b / sinα.

  4. Вирішити задачу: знайти довжину гіпотенузи, якщо відомо, що AB = 3 і кут BAC при цьому боці дорівнює 30 °.

    Рішення

    Використовуйте тригонометричну формулу:

    AC = AB/cos30 ° = 3 • 2 / √ 3 = 2 • √ 3.

  5. Це був простий приклад на знаходження найбільшої сторони прямокутного трикутника. Вирішити таку: визначити довжину гіпотенузи, якщо висота BH, проведена до неї з протилежного вершини, дорівнює 4. Відомо також, що висота ділить сторону на відрізки AH і HC, причому AH = 3.
  6. Рішення

    Позначте невідому частину гіпотенузи HC = x. Як тільки ви знайдете х, то зможете обчислити і довжину гіпотенузи. Отже, AC = x +3.

  7. Розгляньте трикутник AHB — він прямокутний з визначення висоти. Ви знаєте довжини двох його катетів, значить, можете знайти гіпотенузу a, яка є катетом трикутника ABC:

    a = √ (AH ² + BH ²) = √ (16 +9) = 5.

  8. Перейдіть до іншого прямокутному трикутнику BHC і знайдіть його гіпотенузу, яка дорівнює b, тобто другий катет трикутника ABC:

    b ² = 16 + x ².

  9. Поверніться до трикутника ABC і запишіть формулу Піфагора, складіть рівняння щодо х:

    (x +3) ² = 25 + (16 + x ²)
    x ² + 6 • x + 9 = 41 + x ² → 6 • x = 32 → x = 16/3.

  10. Підставте х і знайдіть гіпотенузу:

    AC = 16/3 + 3 = 25/3.