При обчисленні будь-якої довжини слід пам’ятати, що це величина кінцева, то є просто число. Якщо мається на увазі довжина дуги кривої, то така задача вирішується за допомогою певного інтеграла (в плоскому випадку) або криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги). Дуга АВ буде позначатися UАВ.
Інструкція
-
Перший випадок (плоский). Нехай UАВ задана плоскої кривої y = f (x). Аргумент функції зміняться в межах від а до b і вона безперервно дифференцируема цьому відрізку. Знайдемо довжину L дуги UАВ (див. рис. 1а). Для вирішення цього завдання розбийте розглянутий відрізок на елементарні відрізки Δxi, i = 1,2, …, n. В результаті UАВ розіб’ється на елементарні дуги ΔUi, ділянок графіка функції y = f (x) на кожному з елементарних відрізків. Знайдете довжину ΔLi елементарної дуги приблизно, замінивши її відповідної хордою. При цьому можна збільшення замінити диференціалами і використовувати теорему Піфагора. Після винесення з квадратного кореня диференціала dx отримаєте результат, наведений на малюнку 1b. -
Другий випадок (дуга UАВ задана параметрично). x = x (t), y = y (t), tє [α, β]. Функції x (t) і y (t) мають безперервні похідні на відрізку цьому відрізку. Знайдіть їх диференціали. dx = f ‘(t) dt, dy = f’ (t) dt. Підставте ці диференціали в формулу для обчислення довжини дуги в першому випадку. Винесіть dt з квадратного кореня під інтегралом, покладіть х (α) = а, x (β) = b і прийдете до формули для обчислення довжини дуги в даному випадку (див. рис. 2а). - Третій випадок. Дуга UАВ графіка функції задана в полярних координатах ρ = ρ (φ) Полярний кут φ при проходженні дуги змінюється від α до β. Функція ρ (φ)) має безперервну похідну на відрізку її розгляду. У такій ситуації простіше всього використовувати дані, отримані на попередньому кроці. Виберіть φ як параметр і підставте в рівняння зв’язку полярних і декартових координат x = ρcosφ y = ρsinφ. Продіфференціруйте ці формули і підставте квадрати похідних у вираз на рис. 2а. Після невеликих тотожних перетворень, заснованих в основному, на застосуванні тригонометричного тотожності (cosφ) ^ 2 + (sinφ) ^ 2 = 1, отримаєте формулу для обчислення довжини дуги в полярних координатах (див. рис.2b).
- Четвертий випадок (просторова крива, задана параметрично). x = x (t), y = y (t), z = z (t) tє [α, β]. Строго кажучи, тут слід застосувати криволінійний інтеграл першого роду (по довжині дуги). Криволінійні інтеграли обчислюють переведенням їх у звичайні певні. В результаті відповідь залишиться практичним таким же як і випадку два, з тією лише відмінністю, що під коренем з’явиться додатковий доданок — квадрат похідної z ‘(t) (див рис. 2с).
