Як обчислити довжину вектора

Як обчислити довжину вектора

Вектор — відрізок, у якого є не тільки довжина, але і напрям. Вектори грають велику роль в математиці, але особливо у фізиці, оскільки фізика дуже часто має справу з величинами, які зручно представляти у вигляді векторів. Тому в математичних і фізичних розрахунках може виникнути необхідність обчислити довжину вектора, заданого координатами.

Інструкція

  1. У будь-якій системі координат вектор визначають через дві точки — початок і кінець. Наприклад, в декартових координатах на площині вектор позначається як (x1, y1; x2, y2). У просторі, відповідно, у кожної крапки буде по три координати, і вектор постане у вигляді (x1, y1, z1; x2, y2, z2). Зрозуміло, вектор можна визначити і для чотиривимірного, і для будь-якого іншого простору. Його буде набагато важче уявити, але з точки зору математики всі обчислення, пов’язані з ним, залишаться колишніми.
  2. Довжину вектора ще називають його модулем. Якщо A — вектор, то | A | — число, рівне його модулю. Наприклад, будь-дійсне число можна представити як одновимірний вектор з початком у точці нуля. Скажімо, число -2 буде вектором (0; -2). Модуль такого вектора буде дорівнює квадратному кореню з квадрата координати його кінця, тобто √ ((-2) ^ 2) = 2.

    У загальному вигляді, якщо A = (0, x), то | A | = √ (x ^ 2). З цього, зокрема, випливає, що модуль вектора не залежить від його напряму — числа 2 і -2 рівні по модулю.
  3. Перейдемо до декартовим координатами на площині. І в цьому випадку найпростіше обчислити довжину вектора, якщо його початок збігається з початком координат. Квадратний корінь потрібно буде отримати з суми квадратів координат закінчення вектора. | 0, 0; x, y | = √ (x ^ 2 + y ^ 2). Наприклад, якщо у нас є вектор A = (0, 0, 3, 4), то його модуль | A | = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 5.

    Фактично, ви обчислюєте модуль за формулою Піфагора про гіпотенузі прямокутного трикутника. Координатні відрізки, які визначають вектор, грають роль катетів, а вектор служить гіпотенузою, квадрат якої, як відомо, дорівнює сумі їх квадратів.
  4. Коли почало вектора не знаходиться в точці відліку координат, обчислення модуля стає трохи більш трудомістким. У квадрат доведеться зводити не координати кінця вектора, а різниці між координатою кінця і відповідної координатою початку. Легко помітити, що, якщо координата початку дорівнює нулю, то формула перетворюється на попередню. Ви точно так само користуєтесь тут теоремою Піфагора — різниці координат стають довжинами катетів.

    Якщо A = (x1, y1; x2, y2), то | A | = √ ((x2 — x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2). Припустимо, що нам заданий вектор A = (1, 2, 4, 6). Тоді його модуль дорівнює | A | = √ ((4 — 1) ^ 2 + (6 — 2) ^ 2) = 5. Якщо ви побудуєте на координатній площині цей вектор і порівняйте його з попереднім, то легко побачите, що вони рівні між собою, що і стає очевидним при обчисленні їх довжини.
  5. Ця формула універсальна, і її легко узагальнити на випадок, коли вектор розташований не на площині, а в просторі, або навіть має більше трьох координат. Його довжина, як і раніше буде дорівнює квадратному кореню з суми квадратів різниць координат кінця і початку.