Математичні методи застосовуються в багатьох галузях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального числення. Наприклад, якщо обчислити другу похідну функції відстані від змінної часу, то можна знайти прискорення матеріальної точки.
Інструкція
- Диференціювання функції при кожному значенні області її визначення призводить до появи нової функції. Таким чином, вона теж може бути продиференціювати. Результатом цієї вторинної операції буде друга похідна вихідної функції.
- Правила та методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій додавання, твори і ділення, а також складних функцій виду u (g (х)):
• u ‘= С’ = 0 — похідна константи;
• u ‘= х’ = 1 — найпростіша функція одного аргументу;
• u ‘= (х ^ а)’ = а • х ^ (а-1);
• u ‘= (а ^ х)’ = а ^ х • ln а — показова функція; - Основні тригонометричні функції також є табличними:
• u ‘= (sin х)’ — соs х;
• u ‘= (соs х)’ =-sin х;
• u ‘= (tg х)’ = 1/соs ² х;
• u ‘= (ctg х)’ = — 1/sin ² х.
- Арифметичні операції пари функцій u (х) і g (х):
• (u + g) ‘= u’ + g ‘;
• (u • g) ‘= u’ • g + g ‘• u;
• (u / g) ‘= (u’ • g — g ‘• u) / g ².
- Досить важко обчислити другу похідну складної функції. Для цього застосовують методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, присутня так звана похибка апроксимації α:
u» (х) = (u (х + h) — 2 • u (х) + u (х — h)) / h ² + α (h ²) — інтерполяційний многочлен Ньютона;
u» (х) = (-u (х + 2 • h) + 16 • u (х + h) — 30 • u (х) + 16 • u (х — h) — u (х — 2 • h )) / (12 • h ²) + α (h ²) — формула Стрілінга.
- В цих формулах присутня якась величин h. Вона називається кроком апроксимації, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регулюванням по кроку:
| u (х + h) — u (х) |> ε, де ε нескінченно мало.
- Метод обчислення другої похідної застосовується при знаходження повного диференціала другого порядку. При цьому вона приватно розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому вираженні у вигляді множника відповідного диференціала dх, dy і т.д.:
d ² u = ∂ u ‘/ ∂ х • d ² х + ∂ u’ / ∂ y • d ² у + ∂ u ‘/ ∂ z • d ² z.
- Приклад: знайдіть другу похідну функції u = 2 • х • sin х — 7 • х ³ + х ^ 5/tg х.
- Рішення
u ‘= 2 • sin x + 2 • х • соs х — 21 • х ² + 5 • х ^ 4/tg х — х ² / sin ² х;
u» = 4 • соs х — 2 • х • sin х — 42 • х + 20 • х ³ / tg х — 5 • х ^ 4/sin ² х — 2 • х / sin ² х + 2 • х ² • соs х / sin ³ х.
