Як обчислити другу похідну


 

Математичні методи застосовуються в багатьох галузях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального числення. Наприклад, якщо обчислити другу похідну функції відстані від змінної часу, то можна знайти прискорення матеріальної точки.



Інструкція

  1. Диференціювання функції при кожному значенні області її визначення призводить до появи нової функції. Таким чином, вона теж може бути продиференціювати. Результатом цієї вторинної операції буде друга похідна вихідної функції.
  2. Правила та методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій додавання, твори і ділення, а також складних функцій виду u (g (х)):

    • u ‘= С’ = 0 — похідна константи;
    • u ‘= х’ = 1 — найпростіша функція одного аргументу;
    • u ‘= (х ^ а)’ = а • х ^ (а-1);
    • u ‘= (а ^ х)’ = а ^ х • ln а — показова функція;

  3. Основні тригонометричні функції також є табличними:

    • u ‘= (sin х)’ — соs х;
    • u ‘= (соs х)’ =-sin х;
    • u ‘= (tg х)’ = 1/соs ² х;
    • u ‘= (ctg х)’ = — 1/sin ² х.


  4. Арифметичні операції пари функцій u (х) і g (х):

    • (u + g) ‘= u’ + g ‘;
    • (u • g) ‘= u’ • g + g ‘• u;
    • (u / g) ‘= (u’ • g — g ‘• u) / g ².


  5. Досить важко обчислити другу похідну складної функції. Для цього застосовують методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, присутня так звана похибка апроксимації α:

    u» (х) = (u (х + h) — 2 • u (х) + u (х — h)) / h ² + α (h ²) — інтерполяційний многочлен Ньютона;
    u» (х) = (-u (х + 2 • h) + 16 • u (х + h) — 30 • u (х) + 16 • u (х — h) — u (х — 2 • h )) / (12 • h ²) + α (h ²) — формула Стрілінга.


  6. В цих формулах присутня якась величин h. Вона називається кроком апроксимації, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регулюванням по кроку:

    | u (х + h) — u (х) |> ε, де ε нескінченно мало.


  7. Метод обчислення другої похідної застосовується при знаходження повного диференціала другого порядку. При цьому вона приватно розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому вираженні у вигляді множника відповідного диференціала dх, dy і т.д.:

    d ² u = ∂ u ‘/ ∂ х • d ² х + ∂ u’ / ∂ y • d ² у + ∂ u ‘/ ∂ z • d ² z.


  8. Приклад: знайдіть другу похідну функції u = 2 • х • sin х — 7 • х ³ + х ^ 5/tg х.
  9. Рішення

    u ‘= 2 • sin x + 2 • х • соs х — 21 • х ² + 5 • х ^ 4/tg х — х ² / sin ² х;
    u» = 4 • соs х — 2 • х • sin х — 42 • х + 20 • х ³ / tg х — 5 • х ^ 4/sin ² х — 2 • х / sin ² х + 2 • х ² • соs х / sin ³ х.