Як обчислити функцію і побудувати графік


 

Поняття «функція» відноситься до математичного аналізу, але має більш широке застосування. Щоб обчислити функцію і побудувати графік, потрібно досліджувати її поведінку, знайти критичні точки, асимптоти і проаналізувати опуклості і угнутості. Але, звичайно, першим кроком є ​​пошук області визначення.



Інструкція

  1. Для того щоб обчислити функцію і побудувати графік, потрібно виконати наступні дії: знайти область визначення, проаналізувати поведінку функції на кордонах цієї області (вертикальні асимптоти), дослідити на парність, визначити проміжки опуклості і угнутості, виявити похилі асимптоти і розрахувати проміжні значення.
      
  2. Область визначення

    Спочатку передбачається, що нею є нескінченний інтервал, потім на нього накладаються обмеження. Якщо у виразі функції зустрічаються такі підфункції, вирішите відповідні нерівності. Їх сукупний результат і буде областю визначення:
    • Корінь парному мірою від Φ з показником у вигляді дробу з парних знаменником. Вираз, що стоїть під його знаком, може бути тільки позитивним або нулем: Φ ≥ 0;
    • Логарифмічні вираз виду log_b Φ → Φ> 0;
    • Дві тригонометричні функції тангенс і котангенс. Їх аргумент — міра кута, яка не може бути рівної π • k + π / 2, інакше функція не має сенсу. Отже, Φ ≠ π • k + π / 2;
    • Арксинус і арккосинус, які мають сувору область визначення -1 ≤ Φ ≤ 1;
    • Степенева функція, показник якої — інша функція: Φ ^ f → Φ> 0;
    • Дріб, утворена відношенням двох функцій Φ1/Φ2. Очевидно, що Φ2 ≠ 0.
      


  3. Вертикальні асимптоти

    Якщо вони є, то розташовуються на кордонах області визначення. Щоб це з’ясувати, вирішите односторонні межі при х → A-0 і х → В +0, де х — аргумент функції (абсциса графіка), А і В — початок і кінець інтервалу області визначення. Якщо таких інтервалів декілька, досліджуйте всі їхні граничні значення.
      


  4. Парність / непарність

    Підставте в вираз функції аргумент (-х) замість х. Якщо результат не зміниться, тобто Φ (-х) = Φ (х), то вона парна, якщо ж Φ (-х) =-Φ (х), — непарна. Це необхідно для того, щоб виявити наявність симетрії графіка відносно осі ординат (парність) або початку координат (непарність).
      


  5. Зростання / спадання, точки екстремуму

    Обчисліть похідну функції і вирішіть дві нерівності Φ ‘(х) ≥ 0 і Φ’ (х) ≤ 0. В результаті ви отримаєте проміжки зростання / убування функції. Якщо в якійсь точці похідна звертається в нуль, то вона називається критичною. Можливо, вона також є точкою перегину, з’ясуйте це в наступному дії.
      


  6. У будь-якому випадку це точка екстремуму, в якій відбувається перелом, зміна одного стану до іншого. Наприклад, якщо спадна функція стає зростаючою, то це точка мінімуму, якщо навпаки — максимуму. Зверніть увагу, що похідна може мати свою область визначення, більш сувору.
      
  7. Випуклість / увігнутість, точки перегину

    Знайдіть другу похідну і вирішіть аналогічні нерівності Φ» (х) ≥ 0 і Φ» (х) ≤ 0. На цей раз результатами будуть інтервали опуклості і угнутості графіка. Точки, в яких друга похідна дорівнює нулю, є стаціонарними і можуть бути точками перегину. Перевірте, як веде себе функція Φ» до і після них. Якщо змінює знак, значить, це точка перегину. Крім того, перевірте на це властивість критичні точки, визначені в попередньому дії.
      


  8. Похилі асимптоти

    Асимптоти — великі помічники при побудові графіка. Це прямі лінії, до яких наближається нескінченна гілка кривої функції. Вони задаються рівнянням у = k • х + b, де коефіцієнт k дорівнює межі lim Φ / х при х → ∞, а доданок b — такому ж межі виразу (Φ — k • х). При k = 0 асимптота проходить горизонтально.
      


  9. Обчислення в проміжних точках

    Це допоміжний дію, щоб домогтися більшої точності побудови. Підставте декілька довільних значень з області визначення в функцію.
      


  10. Побудова графіка

    Накресліть асимптоти, нанесіть екстремуми, відзначте точки перегинів і проміжні точки. Схематично покажіть проміжки зростання та спадання, опуклості і угнутості, наприклад, знаками «+», «-» або стрілками. Проведіть лінії графіка по всіх точках, наблизьте до асимптоти, згинаючи відповідно зі стрілками або знаками. Перевірте симетрію, виявлену на третьому кроці.