Як обчислити інтеграл функції


 

Інтегральне числення є частиною математичного аналізу, основні поняття якого — первообразная функція і інтеграл, його властивості та методи обчислення. Геометричний зміст цих розрахунків — знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженої межами інтегрування.



Інструкція

  1. Як правило, обчислення інтеграла зводиться до того, щоб привести подинтегральной вираз до табличного виду. Існує безліч табличних інтегралів, яке полегшує вирішення таких завдань.
        
  2. Є кілька способів привести інтеграл до зручного виду: безпосереднє інтегрування, інтегрування по частинах, метод підстановки, введення під знак диференціала, підстановка Вейерштрасса та ін
        
  3. Метод безпосереднього інтегрування — це послідовне приведення інтеграла до табличного виду за допомогою елементарних перетворень:
    ∫ соs ² (х / 2) dх = 1/2 • ∫ (1 + соs х) dх = 1/2 • ∫ dх + 1/2 • ∫ соs xdх = 1/2 • (х + sin х) + С, де C — константа.
  4. Інтеграл має безліч можливих значень виходячи з властивості первісної, а саме наявності сумовною константи. Таким чином, знайдене в прикладі рішення є спільним. Приватним рішенням інтеграла називається загальне при певному значенні постійної, наприклад, С = 0.
        
  5. Інтегрування по частинах застосовується, коли подинтегральной вираз являє собою твір алгебраїчної і трансцендентної функцій. Формула методу:
    ∫ udv = u • v — ∫ vdu.
        
  6. Оскільки позиції множників у твори значення не мають, то як функції u краще вибрати ту частину висловлювання, яка після диференціювання спрощується.

    Приклад:
    ∫ x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x ² / 2 · ln x — ∫ x ² / 2 · dx / x = x ² / 2 · ln x — x ² / 4 + C.


  7. Введення нової змінної — це прийом методу підстановки. При цьому змінюється і сама підінтегральна функції, і її аргумент:
    ∫ x · √ (x — 2) dx = [t = x-2 → x = t ² +2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t ² + 2) · t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t ²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t ³ / 3 + C = [x = t ² +2] = 2/5 · (x — 2) ^ (5/2) + 4 / 3 · (x — 2) ^ (3/2) + C.
  8. Метод введення під знак диференціала передбачає перехід до нової функції. Нехай ∫ f (x) = F (x) + C і u = g (x), тоді ∫ f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)].

    Приклад:
    ∫ (2 · x + 3) ² dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ² d (2 · x + 3) = 1 / 6 · (2 ​​· x + 3) ³ + C.