Інтегральне числення є частиною математичного аналізу, основні поняття якого — первообразная функція і інтеграл, його властивості та методи обчислення. Геометричний зміст цих розрахунків — знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженої межами інтегрування.
Інструкція
- Як правило, обчислення інтеграла зводиться до того, щоб привести подинтегральной вираз до табличного виду. Існує безліч табличних інтегралів, яке полегшує вирішення таких завдань.
- Є кілька способів привести інтеграл до зручного виду: безпосереднє інтегрування, інтегрування по частинах, метод підстановки, введення під знак диференціала, підстановка Вейерштрасса та ін
- Метод безпосереднього інтегрування — це послідовне приведення інтеграла до табличного виду за допомогою елементарних перетворень:
∫ соs ² (х / 2) dх = 1/2 • ∫ (1 + соs х) dх = 1/2 • ∫ dх + 1/2 • ∫ соs xdх = 1/2 • (х + sin х) + С, де C — константа.
- Інтеграл має безліч можливих значень виходячи з властивості первісної, а саме наявності сумовною константи. Таким чином, знайдене в прикладі рішення є спільним. Приватним рішенням інтеграла називається загальне при певному значенні постійної, наприклад, С = 0.
- Інтегрування по частинах застосовується, коли подинтегральной вираз являє собою твір алгебраїчної і трансцендентної функцій. Формула методу:
∫ udv = u • v — ∫ vdu.
- Оскільки позиції множників у твори значення не мають, то як функції u краще вибрати ту частину висловлювання, яка після диференціювання спрощується.
Приклад:
∫ x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x ² / 2 · ln x — ∫ x ² / 2 · dx / x = x ² / 2 · ln x — x ² / 4 + C.
- Введення нової змінної — це прийом методу підстановки. При цьому змінюється і сама підінтегральна функції, і її аргумент:
∫ x · √ (x — 2) dx = [t = x-2 → x = t ² +2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t ² + 2) · t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t ²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t ³ / 3 + C = [x = t ² +2] = 2/5 · (x — 2) ^ (5/2) + 4 / 3 · (x — 2) ^ (3/2) + C.
- Метод введення під знак диференціала передбачає перехід до нової функції. Нехай ∫ f (x) = F (x) + C і u = g (x), тоді ∫ f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)].
Приклад:
∫ (2 · x + 3) ² dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ² d (2 · x + 3) = 1 / 6 · (2 · x + 3) ³ + C.
