Як обчислити косинус кута

Як обчислити косинус кута

Косинус — одна з тригонометричних функцій, яка застосовується в рішенні геометричних і фізичних задач. Дії з векторами також рідко обходяться без використання косинуса. Є кілька способів обчислення косинуса кута від найпростіших арифметичних дій до розкладання в ряд Тейлора. Вибір способу залежить від необхідної точності значення косинуса.

Інструкція

  1. Будь-якому школяру відомі таблиці Брадіса. Він справив безліч копітких розрахунків, але позбавив математиків від трудомісткого підрахунку значень основних тригонометричних функцій для великої кількості кутів. До широкого розповсюдження калькуляторів і обчислювальних машин ці таблиці використовувалися практично всіма інженерами, математиками, фізиками і студентами.
  2. Обчислити косинус кута за таблицею дуже легко. Досить знайти в стовпці значень кутів градуси кута, а потім йти по рядку таблиці до перетину з хвилинами кута. На малюнку зображений фрагмент таблиці Брадіса. Видно, що значення косинуса для кута 72 ° 30 ‘становить 0,3007. За таблицями Брадіса можна дізнатися значення функцій з точністю до 0,0001, для більшості обчислень така точність є цілком достатньою.
  3. Спочатку тригонометричні функції були пов’язані з прямокутним трикутником і співвідношенням його сторін. Можна згадати про це і застосувати відомі співвідношення, якщо кут є гострим. Побудуйте прямокутний трикутник із заданим кутом. Для цього проведіть два промені і опустіть з якої-небудь на одному з них перпендикуляр до іншого. Тепер, якщо позначити точки перетину променів літерами A, B і С, можна стверджувати, що cos ∠ BAC = CA / AB або відношенню прилежащего до нього катета AC до гіпотенузі AB. Точність цього методу невисока і сильно залежить від точності побудов.
  4. Для більшої точності обчислень тригонометричні функції розкладають в ряди Тейлора. Ряд Тейлора для косинуса дивіться на малюнку. Розклад в ряд дозволяє обчислити косинус з будь-якою точністю. Чим вище точність, тим більше членів ряду доведеться знайти. Брадиса в своїх таблицях розкладав косинус в ряд і знаходив перші кілька членів. Сучасні калькулятори роблять те ж саме.
  5. Спробуйте вручну обчислити значення косинуса для 72 ° 30 ‘. Для цього спочатку переведіть кут в радіани: 72 ° 30 ‘= 72,5 ° * π рад/180 ° = 1,2654 рад (зауважте, що значення числа π треба брати теж досить точним, в цій формулі використано π ≈ 3,1416 ). Тепер підставте це значення в ряд і обчисліть декілька перших членів ряду: 1 — 1,2654 ^ 2 / 2 + 1,2654 ^ 4 / 24 — 1,2654 ^ 6 / 720 + 1,2654 ^ 8 / 40320 = 1 — 0 , 8006 + 0,1068 — 0,0057 + 0,0002 = 0,3006, де 720 = 6!, 40320 = 8!.

    Таким чином, cos 72 ° 30 ‘= cos 1,2654 радий ≈ 0,3006.