Криволінійний інтеграл береться вздовж будь-якої плоскої або просторової кривої. Для обчислення прийняті формули, які дійсні при дотриманні певних умов.
Інструкція
- Нехай на кривій в декартовій системі координат визначена функція F (x, y). Для інтегрування функції крива розбивається на відрізки довжиною, близькою до 0. Усередині кожного такого відрізка вибираються точки Mi з координатами xi, yi, визначаються значення функції в цих точках F (Mi) і множаться на довжини ділянок:
F (M1) · Δs1 + F (M2) · Δs2 + … F (Mn) · Δsn = ΣF (Mi) · Δsi при 1 ≤ I ≤ n.
- Отримана сума називається криволінійної інтегральної сумою. Відповідний інтеграл дорівнює межі від цієї суми:
∫ F (x, y) ds = lim ΣF (Mi) · Δsi = lim ΣF (xi, yi) · √ ((Δxi) ² + (Δyi) ²) = lim F (xi, yi) · √ (1 + (Δyi / Δxi) ²) · Δxi = ∫ F (x, y) · √ (1 + (y ‘) ²) dx.
- Приклад.
Знайдіть криволінійний інтеграл ∫ x ² · yds уздовж лінії y = ln x при 1 ≤ x ≤ e.
Рішення.
За формулою:
∫ x ² yds = ∫ x ² · √ (1 + ((ln x) ‘) ²) = ∫ x ² · √ (1 + 1 / x ²) = ∫ x ² · √ ((1 + x ²) / x) = ∫ x · √ (1 + x ²) dx = 1/2 · ∫ √ (1 + x ²) d (1 + x ²) = ½ · (1 + x) ^ 3/2 = [1 ≤ x ≤ e] = 1/3 · ( (1 + e ²) ^ 3/2 — 2 ^ 3/2) ≈ 7,16.
- Нехай крива задана в параметричній формі x = φ (t), y = τ (t). Щоб обчислити криволінійний інтеграл, застосуємо вже відому формулу:
∫ F (x, y) ds = lim ΣF (Mi) · Δsi = lim ΣF (xi, yi) · √ ((Δxi) ² + (Δyi) ²).
- Підставивши значення x і y, одержимо:
∫ F (x, y) ds = lim Σ F (φ (ti), τ (ti)) · √ (φ ² (ti) + τ ² (ti)) · Δti = ∫ F (φ (t), τ ( t)) · √ (φ ² + τ ²) dt.
- Приклад.
Обчисліть криволінійний інтеграл ∫ y ² ds, якщо лінія задана параметрично: x = 5 · cos t, y = 5 · sin t при 0 ≤ t ≤ π / 2.
Рішення.
ds = (25 · cos ² t + 25 · sin ² t) dt = 5dt.
∫ y ² ds = ∫ 25 · sin ² t · 5dt = 125/2 ∫ (1 — cos 2t) dt = 125/2 · (t — sin 2t / 2) = [0 ≤ t ≤ π / 2] = 125/2 · ( (π / 2 — 0) — (0 — 0)) = 125/2 · π / 2 = 125 · π / 4.
