Як обчислити кут між прямою і площиною


 

Пряма і площина — основні поняття геометрії. Ці двомірна і тривимірна фігури, які є основами для побудови будь-яких плоских і просторових конструкцій. Завжди можна обчислити кут між прямою і площиною по їх рівнянь.


Інструкція

  1. Пряма і площина — два взаємопов’язаних геометричних поняття. Через будь-які дві точки площини можна провести пряму лінію, що складається з її ж точок. А будь-яка пряма належить небудь площині. Будь-яка фігура в геометрії — сукупність пересічних ліній і обмежених ними ділянок поверхні, від найпростіших трикутника і кола до нестандартних опуклих багатокутників і призм.
      
  2. Для кожної прямої в просторі можна знайти проекцію на деяку площину. Таким чином, можна обчислити кут між ними, як суміжний до кута, утвореного векторами напрямку і нормалі. Наприклад, нехай задано канонічне рівняння прямої L і загальне рівняння площини P:

    L: (х — х0) / p = (у — у0) / r = (z — z0) / s;
    P: А • х + B • у + С • z + D = 0.

  3. Коефіцієнти цих рівнянь — координати вектора напрямку прямий і вектора нормалі для площині. Тоді завдання визначення кута між прямою лінією і її проекцією зводиться до пошуку суміжного кута між цими векторами. Суміжний кут в даній ситуації складає в сумі з шуканим 90 ° або π / 2. Знайдіть косинус кута (π / 2 — α) за відомою формулою:

    cos (π / 2 — α) = sin α = | p • А + r • B + s • C | / (√ (p ² + r ² + s ²) • √ (А ² + B ² + C ²)).

  4. Окремі випадки, коли цей кут дорівнює 90 ° або 180 °, є доказом їх перпендикулярності або паралельності. Тоді:

    • якщо А / p = B / r = С / s — пряма перпендикулярна площині;
    • якщо А • р + B • r + С • s = 0 — пряма паралельна площині.

  5. Приклад: Знайти кут між прямою (х — 1) / 4 = (у + 3) / -2 = (z — 8) / 1 і площиною 5 • х + 3 • у — 4 • z = 0.

    Рішення

    Випишіть координати вектора напрямку прямої — (4, -2, 1) і нормального вектора площини — (5, 3, -4). Підставте всі значення у формулу синуса кута:

    sin α = | 20 — 6 — 4 | / (√ (16 + 4 + 1) • √ (25 + 9 + 16)) ≈ 0,3.

  6. Обчисліть арксинус вийшла величини, щоб визначити шуканий кут α:

    α = аrсsin 0,3 ≈ 17,46 °.