Як обчислити кут між векторами

Як обчислити кут між векторами

Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці та лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з’являється в результаті цього твору.

Інструкція

  1. Кут між векторами у векторному лінійному просторі — мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленностью векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (див. малюнок до кроці).
  2. При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного переносу векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.
  3. При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. малюнок до кроку).
  4. Результат скалярного твору — число, інакше скаляр. Запам’ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. малюнок до кроку).
  5. Цей вислів справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. малюнок до кроку).
  6. Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. малюнок до кроку).
  7. Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок робите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному — це складова відповідає за аплікат, тобто третій компонент вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється таким чином (див. малюнок 6 до кроку).