Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці та лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з’являється в результаті цього твору.
Інструкція
- Кут між векторами у векторному лінійному просторі — мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленностью векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (див. малюнок до кроці).
- При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного переносу векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.
- При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. малюнок до кроку).
- Результат скалярного твору — число, інакше скаляр. Запам’ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. малюнок до кроку).
- Цей вислів справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. малюнок до кроку).
- Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. малюнок до кроку).
- Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок робите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному — це складова відповідає за аплікат, тобто третій компонент вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється таким чином (див. малюнок 6 до кроку).
