Як обчислити математичне сподівання


 

Математичне сподівання — термін теорії ймовірностей, призначений для оцінки середнього значення статистичної вибірки та визначення похибки вимірювань. Це поняття також називають центром розподілу випадкової величини.



Інструкція

  1. Обчислення математичного сподівання випадкової величини є одним з основних етапів оцінки ступеня її відхилення від істинного значення. Під час побудови ймовірнісної моделі вимірюваного параметра ця числова характеристика показує, наскільки далеко від істини її середнє очікуване значення.
      
  2. Щоб обчислити математичне сподівання, необхідно розглянути вибірку значень функції розподілу випадкової величини. Елементи цієї функції є ймовірності, з якими величина виявиться рівною того чи іншого значенням з безлічі X.
      
  3. Очевидно, що вибірка значень (результатів серії вимірювань) аналізованого параметра є числовим рядом. Отже, щоб знайти його середнє значення, необхідно визначити інтегральну суму цього ряду. Це призводить до операції інтегрування та використання формули Лебега-Стільтьеса:

    M = ∫ xdF (x).


  4. Розділяють поняття математичного очікування дискретної і цілої величини. Перше випливає з інтеграла, наведеного вище, і являє собою підсумовування попарних творів відповідних один одному елементів двох множин: вибірки значень досліджуваного параметра і масиву ймовірностей, з якими ці значення може прийняти випадкова величина. Тоді формула виглядає наступним чином:

    М = Σxi • pi, де i — індекс суми, що належить інтервалу від 1 до нескінченності.


  5. Математичне сподівання цілої величини одно першої похідної функції послідовності. При цьому очевидно, що ціла величина має розподіл ймовірностей, рівне Σpi = 1, тому в продиференціювати функцію підставляється значення, рівне x = 1. Тоді формула приймає вигляд:

    M = P ‘(1) = Σk • p_k.


  6. Необхідно пам’ятати, що виробляє функція послідовності сама по собі є числовим рядом, тому від його збіжності залежить, чи існує кінцеве значення математичного очікування. Якщо ж ряд розходиться, то ця характеристика випадкової величини дорівнює нескінченності, тобто не визначена.