Як обчислити межа послідовності

Як обчислити межа послідовності

Якщо змінна, послідовність або функція має нескінченну кількість значень, які змінюються по деякому закону, вона може прагнути до певного числа, яке і є межею послідовності. Обчислювати межі можна різними способами.

Вам знадобиться

- Поняття числової послідовності і функції;
- Вміння брати похідні;
- Вміння перетворювати і скорочувати вираження;
- Калькулятор.

Інструкція

  1. Щоб обчислити межу, підставте в його вираз граничне значення аргументу. Спробуйте провести обчислення. Якщо це можливо, то значення виразу з підставленим значенням і є шукане число.

    Приклад:

    Знайдіть значення межі послідовності з загальним членом (3 ∙ x ² -2) / (2 ∙ x ² +7), якщо x → 3. Проведіть підстановку межі в вираз послідовності (3 ∙ 3 ² -2) / (2 ∙ 3 ​​² +7) = (27-2) / (18 +7) = 1.
  2. Якщо при спробі підстановки є невизначеність, виберіть спосіб, яким її можна усунути. Це можна зробити, перетворивши висловлювання, в яких записується послідовність. Провівши скорочення, отримаєте результат.

    Приклад:

    Послідовність (x + √ x) / (x-√ x), коли x → 0. При прямій підстановці виходить невизначеність 0 / 0. Позбавтеся від неї, винісши з чисельника і знаменника загальний множник. В даному випадку це буде √ x. Отримайте (√ x ∙ (√ x +1)) / (√ x ∙ (√ x-1)) = (√ x +1) / (√ x-1). Тепер поле підстановки отримаєте 1 / (-1) =- 1.
  3. Коли при невизначеності дріб неможливо скоротити (особливо, якщо послідовність містить ірраціональні вирази) помножте її чисельник і знаменник на дієвідміну вираз, для того, щоб прибрати ірраціональність з знаменника.

    Приклад:

    Послідовність x / (√ (x +1) -1). Значення змінної x → 0. Помножте чисельник і знаменник на дієвідміну вираз (√ (x +1) +1). Отримайте (x ∙ (√ (x +1) +1)) / ((√ (x +1) -1) ∙ (√ (x +1) +1)) = (x ∙ (√ (x +1) +1)) / (x +1-1) = (x ∙ (√ (x +1) +1)) / x = √ (x +1) +1. Зробивши підстановку, отримаєте = √ (0 +1) +1 = 1 +1 = 2.
  4. При невизначеностях типу 0 / 0 або ∞ / ∞ використовуйте правило Лопіталя. Для цього чисельник і знаменник послідовності уявіть як функції, візьміть з них похідні. Межа їх відносин буде дорівнює межі відносин самих функцій.

    Приклад:

    Знайти межа послідовності ln (x) / √ x, при x → ∞. Пряма підстановка дає невизначеність ∞ / ∞. Візьміть похідні з чисельника і знаменника і отримаєте (1 / x) / (1 / 2 ∙ √ x) = 2 / √ x = 0.
  5. Для розкриття невизначеностей користуються першими чудовим межею sin (x) / x = 1 при x → 0, або другим чудовим межею (1 +1 / x) ^ x = exp при x → ∞.

    Приклад:

    Знайти межа послідовності sin (5 ∙ x) / (3 ∙ x) при x → 0. Перетворіть вираз sin (5 ∙ x) / (3 / 5 ∙ 5 ∙ x) винесіть множник з знаменника 5 / 3 ∙ (sin (5 ∙ x) / (5 ∙ x)) використовуючи перший чудовий межа отримаєте 5 / 3 ∙ 1 = 5 / 3.
  6. Приклад:

    Знайти межа (1 +1 / (5 ∙ x)) ^ (6 ∙ x) при x → ∞. Помножте і поділіть показник ступеня на 5 ∙ x. Отримайте вираз ((1 +1 / (5 ∙ x)) ^ (5 ∙ x)) ^ (6 ∙ x) / (5 ∙ x). Застосувавши правил другого чудового краю, отримаєте exp ^ (6 ∙ x) / (5 ∙ x) = exp.