Як обчислити межа з прикладами


 

Функція є одним з фундаментальних математичних понять. Її межа — це таке значення, при якому аргумент прагне до певної величини. Обчислити його можна, використовуючи деякі прийоми, наприклад, правило Бернуллі-Лопіталя.


Інструкція

  1. Щоб обчислити межу в заданій точці x0, слід підставити це значення аргументу у вираз функції, що стоїть під знаком lim. Зовсім не обов’язково, щоб ця точка належала області визначення функції. Якщо межа визначений і дорівнює однозначного числа, то говорять, що функція сходиться. Якщо ж він не може бути визначений, або нескінченний в конкретній точці, то в наявності розбіжність.
        
  2. Теорію рішення меж краще поєднувати з практичними прикладами. Наприклад, знайдіть межа функції:
    lim (х ² — 6 • х — 14) / (2 • ² + 3 • х — 6) при х → -2.
        
  3. Рішення.
    Підставте в вираз значення х = -2:
    lim (х ² — 6 • х — 14) / (2 • х ² + 3 • х — 6) = -1 / 2.
        
  4. Не завжди рішення є настільки очевидним і простим, особливо якщо вираз занадто громіздке. В цьому випадку спочатку слід спростити його методами скорочення, угруповання або заміни змінної:
    lim_ (х → -8) (10 • х — 1) / (2 • х + ∛ x) = [у = ∛ x] = lim_ (у → -2) (10 • у ³ — 1) / (2 • у ³ + у) = 9/2.
        
  5. Часто виникають ситуації неможливості визначення межі, особливо якщо аргумент прагне до нескінченності або нулю. Підстановка не приносить очікуваного результату, приводячи до невизначеності виду [0/0] або [∞ / ∞]. Тоді можна застосувати правило Лопіталя-Бернуллі, яке передбачає знаходження першої похідної. Наприклад, обчисліть межа lim (х ² — 5 • х -14) / (2 • х ² + х — 6) при х → -2.
        
  6. Рішення.
    lim (х ² — 5 • х -14) / (2 • х ² + х — 6) = [0/0].
        
  7. Знайдіть похідну:
    lim (2 • х — 5) / (4 • х + 1) = 9/7.
        
  8. Для того, щоб полегшити роботу, в деяких випадках можна застосовувати так звані чудові межі, що представляють собою доведені тотожності. На практиці їх існує декілька, проте найчастіше використовуються два.
        
  9. lim (sinx / x) = 1 при x → 0, вірно і зворотне: lim (x / sinx) = 1; x → 0.
    Аргумент може бути будь-конструкцією, головне, щоб її значення прагнуло до нуля:
    lim (x ³ — 5 • x ² + x) / sin (x ³ — 5 • x ² + x) = 1; x → 0.
        
  10. Другий чудовий межа:
    lim (1 + 1 / x) ^ x = e (число Ейлера) при x → ∞.