Як обчислити межа


 

Теорія меж — досить велика область математичного аналізу. Це поняття застосовне до функції і являє собою конструкцію з трьох елементів: позначення lim, вираз під знаком межі і граничне значення аргументу.


Інструкція

  1. Щоб обчислити межу, необхідно визначити, чому дорівнює функція в точці, що відповідає граничному значенню аргументу. В деяких випадках завдання не має кінцевого рішення, а підстановка значення, до якого прагне змінна, дає невизначеність виду «нуль на нуль» або «нескінченність на нескінченність». В цьому випадку застосовується правило, виведене Бернуллі і Лопиталем, яке передбачає взяття першої похідної.
  2. Як і будь-яке інше математичне поняття, межа може утримувати під своїм знаком вираз функції, надто громіздке або незручне для простої підстановки. Тоді необхідно перш спростити його, користуючись звичайними методами, наприклад, групування, винесення спільного множника і заміна змінної, при якій змінюється і граничне значення аргументу.
  3. Розгляньте приклад, щоб зробити теорію більш наочною. Знайдіть межа функції (2 • x ² — 3 • x — 5) / (x + 1) при х, яка прагне до 1. Зробіть просту підстановку:

    (2 • 1 ² — 3 • 1 — 5) / (1 + 1) = -6 / 2 = -3.

  4. Вам пощастило, вираз функції має сенс при цьому граничному значенні аргументу. Це найпростіший випадок обчислення межі. Тепер вирішите наступну задачу, в якій фігурує неоднозначне поняття нескінченності:

    lim_ (x → ∞) (5 — x).

  5. У цьому прикладі x прямує до нескінченності, тобто постійно зростає. У виразі мінлива фігурує зі знаком мінус, отже, чим більше значення змінної, тим більше убуває функція. Тому межа в цьому випадку дорівнює — ∞.
  6. Правило Бернуллі-Лопіталя:

    lim_ (x → -2) (x ^ 5 — 4 • x ³) / (x ³ + 2 • х ²) = (-32 + 32) / (-8 + 8) = [0/0].

    Продіфференціруйте вираз функції:

    lim (5 • x ^ 4 — 12 • x ²) / (3 • x ² + 4 • x) = (5 • 16 — 12 • 4) / (3 • 4 — 8) = 8.

  7. Заміна змінної:

    lim_ (x → 125) (x + 2 • ∛ x) / (x + 5) = [y = ∛ x] = lim_ (y → 5) (y ³ + 2 • y) / (y ³ + 3) = (125 + 10) / (125 + 5) = 27/26.