Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення


 

Обчислення меж із застосуванням способів диференціального обчислення грунтується на правилі Лопіталя. При цьому відомі приклади, коли це правило не стосується. Тому залишається актуальною і завдання обчислення меж звичайними способами.



Інструкція


  1.  Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення

                  Безпосереднє обчислення меж пов’язано, в першу чергу, з межами раціональних дробів Qm (x) / Rn (x), де Q і R многочлени. Якщо обчислюється межа при х → a (a — число), то може виникнути невизначеність, наприклад [0/0]. Для її усунення просто поділіть чисельник і знаменник на (х-а). Операцію повторюйте до тих пір, поки невизначеність не пропаде. Розподіл многочленів здійснюється практично так само, як і поділ чисел. Воно засноване на тому, що розподіл і множення — зворотні операції. Приклад наведено на рис. 1.

  2.  Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення

                  Застосування першого чудового краю.
    Формула для першого чудового краю наведена на рис. 2а. Для його застосування приведіть вираз вашого прикладу до відповідного виду. Це завжди можна зробити чисто алгебраїчно або заміною змінної. Головне — не забувайте, що якщо синус береться від kx, то і знаменник теж kx. Приклад розглянуто на рис. 2e.
    Крім того, якщо врахувати, що tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, то, як наслідок, з’являється формула (див. рис. 2b). arcsin (sinx) = x і arctg (tgx) = x. Тому є ще два наслідки (рис 2с. І 2d). Виник ще досить широкий набір способів обчислення меж.
      

  3.  Як обчислити межі функцій, не користуючись засобами диференційного обчислення

                  Застосування другого чудово межі (див. рис. 3а)
    Межі такого типу використовуються для усунення невизначеностей типу [1 ^ ∞]. Для вирішення відповідних завдань просто перетворіть умова до структури, яка відповідає виду межі. Пам’ятайте, що при зведенні в ступінь вираження, що вже знаходиться в якій-небудь мірі, їх показники перемножуються. Відповідний приклад наведено на рис. 2е.
    Застосуйте підстановку α = 1 / х та отримайте слідство з другого чудового межі (рис. 2b). Прологаріфміровав по підставі а обидві частини цього слідства, прийдете до другого слідству, в тому числі і при а = е (див. рис. 2с).
    Зробите заміну а ^ x-1 = y. Тоді x = log (a) (1 + y). При прагненні х до нуля, у також прагне до нуля. Тому виникає і третє слідство (див. рис. 2d).
      
  4. Застосування еквівалентних нескінченно малих.
    Нескінченно малі функції еквівалентні при х → а, якщо межа їх відносини α (х) / γ (х) дорівнює одиниці. При обчисленні меж за допомогою таких нескінченно малих просто запишіть γ (x) = α (x) + o (α (x)). o (α (x)) — це нескінченно мала більш високого порядку малості, ніж α (x). Для неї lim (x → a) o (α (x)) / α (x) = 0. Для з’ясування еквівалентності використовуйте ті ж чудові межі. Метод дозволяє істотно спростити процес знаходження меж, зробивши його більш прозорим.