Як обчислити наближено інтеграл


 

Класичні моделі наближеного обчислення визначеного інтеграла засновані але побудові інтегральних сум. Ці суми повинні бути найбільш короткими, але забезпечують досить малу похибку обчислення. Навіщо? З тих пір, як з’явилися серйозні ЕОМ і хороші ПК, актуальність завдання скорочення числа обчислювальних операцій дещо відійшла на другий план. Безумовно, огульно відкидати їх не слід, а от зважити між простотою алгоритму (де багато обчислювальних операцій) і складністю більш точного — явно не завадить.


Інструкція

  1. Розглянемо задачу обчислення визначених інтегралів методом «Монте-Карло». Застосування стало можливим після появи перших ЕОМ, тому його батьками вважаються американці Нейман і Улам (звідси й помітну назву, так як на ті часи найкращим датчиком випадкових чисел була ігрова рулетка). Від авторського права (в назві) відійти не маю права, але зараз згадують або статистичні випробування, або статистичне моделювання.
  2. Для отримання випадкових чисел, що володіють заданим розподілом на інтервалі (a, b) використовуються випадкові числа z, рівномірних на (0, 1). У середовищі Pascal це відповідає підпрограмі Random. На калькуляторах на цей випадок є кнопка RND. Існують і таблиці таких випадкових чисел. Етапи моделювання найпростіших розподілів також прості (буквально до крайності). Так, порядок обчислення числової моделі випадкової на (a, b) величини, щільність ймовірності якій W (x) наступна. Визначивши функцію розподілу F (x), прирівнявши її zi. Тоді xi = F ^ (-1) (zi) (мається на увазі зворотна функція). Далі отримуйте скільки завгодно багато (в межах можливостей вашого ПК) значень цифрової моделі xi.

  3. Як обчислити наближено інтеграл

                  Тепер слід безпосередній етап обчислень. Нехай вам необхідно обчислити певний інтеграл (див. рис. 1а). На малюнку 1 W (x) можна вважати довільній щільністю ймовірності випадкової величини (СВ), розподіленої на (a, b), а шуканий інтеграл — математичним очікуванням функції цієї СВ. Так що єдина вимога до вимога до W (x) — умова нормування (рис. 1b).
    У математичній статистиці оцінкою математичного сподівання є середнє арифметичне спостережуваних значень функції СВ (рис.1 с). Замість спостережень наберіть їх цифрові моделі та обчислюйте певні інтеграли з практично з будь-якою бажаною точністю без всяких (іноді важких, якщо залучити метод Чебишева) викладок.
      
  4. Допоміжну W (x) слід брати найпростішої, але, все-таки таки, хоча б злегка нагадує (за графіком) інтегруються функцію. Не можливо приховати, що зниження похибки в 10 раз варто збільшення вибірки моделі в 100 разів. Ну і що? Коли комусь було потрібно більше трьох знаків за комою? А це всього лише мільйон обчислювальних операцій.