Як обчислити невизначений інтеграл

Як обчислити невизначений інтеграл

Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не даремно його часом порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам’ятати таблицю — необхідно підходити до вирішення завдання творчо.

Інструкція

  1. Чітко засвойте, що інтегрування — процес, зворотний диференціюванню. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву первісної. Похідна первообразной дорівнює F ‘(x) = f (x). Наприклад, якщо в задачі дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним чином:

    ∫ 2x = x ^ 2 + C, де C = const, за умови, що F ‘(x) = f (x)

    Процес інтегрування функції можна записати й іншим чином:

    ∫ f (x) = F (x) + C
  2. Обов’язково запам’ятайте такі властивості інтегралів:

    1. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів:

    ∫ [f (x) + z (x)] = ∫ f (x) + ∫ z (x)

    Для доказу цієї властивості візьміть похідні від лівої і правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічне властивість суми похідних, пройдена вами раніше.

    2. Постійний множник виноситься за знак інтеграла:

    ∫ AF (x) = A ∫ F (x), де A = const.
  3. Прості інтеграли обчислюються з використанням спеціальної таблиці. Проте, найчастіше в умовах завдань зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання ряду додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її підведення під знак диференціала:

    ∫ f (d (x) z ‘(x) dx = ∫ f (u) d (u)

    Під u мається на увазі складна функція, яка і перетворюється в просту.
  4. Існує також кілька більш складний метод, який зазвичай застосовується у випадку, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні по частинах. Виглядає це таким чином:

    ∫ udv = uv-∫ vdu

    Уявіть собі, наприклад, що дано інтеграл ∫ x * sinx dx. Позначте х як u, а dv — як sinxdx. Відповідно, v =- cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення в вищевказану формулу, отримаєте такий вираз:

    ∫ x * sinxdx =- x * cosx-∫ (-cosx) = sinx-x * cosx + C, де С = const.
  5. Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вираження зі ступенями чи корінням. Формула заміни змінної зазвичай має такий вигляд:

    [∫ f (x) dx] = ∫ f [z (t)] z ‘(t) dt, причому, t = z (t)