Як обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій


 

Графіки двох функцій на загальному інтервалі утворюють певну фігуру. Щоб обчислити її площу, необхідно проінтегрувати різниця функцій. Межі загального інтервалу можуть бути задані спочатку або бути точками перетинів двох графіків.



Інструкція

  1. При побудові графіків двох заданих функцій в області їх перетину утворюється замкнута фігура, обмежена цими кривими і двома прямими лініями х = а та х = b, де а і b — кінці аналізованого інтервалу. Цю фігуру візуально відображають штрихом. Її площу можна обчислити, проінтегрувавши різниця функцій.
      
  2. Функція, розташована вище на графіку, є більшою величиною, отже, у формулі її вираз буде стояти першим: S = ∫ f1 — ∫ f2, де f1> f2 на проміжку [а, b]. Втім, прийнявши до уваги, що кількісна характеристика будь-якого геометричного об’єкта є величиною позитивною, можна обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій, по модулю:
    S = | ∫ f1 — ∫ f2 |.
      
  3. Такий варіант тим більше зручний, якщо немає можливості або часу на побудову графіка. При обчисленні визначеного інтеграла користуються правилом Ньютона-Лейбніца, яка передбачає підстановку в кінцевий результат граничних значень інтервалу. Тоді площа фігури дорівнює різниці двох значень первісної, знайденої на етапі інтегрування, з більшого F (b) і меншого F (а).
      
  4. Іноді замкнута фігура на заданому інтервалі утворюється шляхом повного перетину графіків функцій, тобто кінці інтервалу є точками, які належать обом кривим. Наприклад: знайдіть точки перетину ліній у = х / 2 + 5 і у = 3 • х — х ² / 4 + 3 і обчисліть площу.
      
  5. Рішення.
    Щоб знайти точки перетину, складіть рівняння:
    х / 2 + 5 = 3 • х — х ² / 4 + 3 → х ² — 10 • х + 8 = 0
    D = 100 — 64 = 36 → х1, 2 = (10 ± 6) / 2.
      
  6. Отже, ви знайшли кінці інтервалу інтегрування [2; 8]:
    S = | ∫ (3 • х — х ² / 4 + 3 — х / 2 — 5) dх | = | (5 • х ² / 4 — х ³ / 12 — 2 • х) | ≈ 59.
      
  7. Розгляньте інший приклад: у1 = √ (4 • х + 5); у2 = х і дано рівняння прямої х = 3.
    У цьому завданні дано тільки один кінець інтервалу х = 3. Це означає, що друге значення потрібно знайти з графіка. Побудуйте лінії, задані функціями у1 і у2. Очевидно, що значення х = 3 є верхнім обмеженням, отже, потрібно визначити нижню межу. Для цього прирівняти вирази:
    √ (4 • х + 5) = х ↑ ²
    4 • х + 5 = х ² → х ² — 4 • х — 5 = 0
      
  8. Знайдіть корені рівняння:
    D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
    Подивіться на графік, нижнім значенням інтервалу є -1. Оскільки у1 розташоване вище у2, то:
    S = ∫ (√ (4 • х + 5) — х) dх на проміжку [-1; 3].
    S = (1/3 • √ ((4 • х + 5) ³) — х ² / 2) = 19.