Як обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах


 

На будь-яких двох неколінеарних і ненульових векторах можна побудувати паралелограм. Ці два вектори будуть стягувати паралелограм, якщо поєднати їх початку в одній точці. Добудуйте боку фігури.



Інструкція

  1. Знайдіть довжини векторів, якщо задані їх координати. Нехай, наприклад, вектор A має координати (a1, a2) на площині. Тоді довжина вектора A дорівнює | A | = √ (a1 ² + a2 ²). Аналогічно знаходиться модуль вектора B: | B | = √ (b1 ² + b2 ²), де b1 і b2 — координати вектора B на площині.
  2. Площа паралелограма знаходиться за формулою S = | A | • | B | • sin (A ^ B), де A ^ B — кут між заданими векторами A і B. Синус можна знайти через косинус, використовуючи основне тригонометричне тотожність: sin ² α + cos ² α = 1. Косинус же можна висловити через скалярний добуток векторів, записане в координатах.
  3. Скалярний добуток вектора A на вектор B позначається як (A, B). За визначенням, воно дорівнює (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). А в координатах скалярний твір записується так: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Звідси можна виразити косинус кута між векторами: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1 ² + a2 ²) • √ (a2 ² + b2 ²). В чисельнику — скалярний твір, в знаменнику — довжини векторів.
  4. Тепер можна висловити синус з основного тригонометричного тотожності: sin ² α = 1-cos ² α, sinα = ± √ (1-cos ² α). Якщо припустити, що кут α між векторами — гострий, «мінус» при синусі можна відкинути, залишивши тільки знак «плюс», оскільки синус гострого кута може бути тільки позитивним (або нульовим при нульовому вугіллі, але тут кут ненульовий, це відображається в умові неколінеарних векторів).
  5. Тепер треба підставити координатне вираз для косинуса в формулу синуса. Після цього залишиться лише записати результат в формулу площі паралелограма. Якщо все це зробити і спростити числове вираження, то вийде, що S = a1 • b2-a2 • b1. Таким чином, площа паралелограма, побудованого на векторах A (a1, a2) і B (b1, b2), знаходиться за формулою S = a1 • b2-a2 • b1.
  6. Отримане вираження є детермінантом матриці, складеної з координат векторів A і B:

    a1 a2
    b1 b2.


  7. Дійсно, щоб отримати визначник матриці розмірності два, потрібно перемножити елементи головної діагоналі (a1, b2) і відняти з цього твір елементів побічної діагоналі (a2, b1).