Як обчислити площу по периметру


 

Геометрія вивчає властивості і характеристики двовимірних і просторових фігур. Числовими величинами, котрі характеризують такі конструкції, є площа і периметр, обчислення яких проводиться за відомими формулами або виражається одне через інше.



Інструкція

  1. Прямокутник.
    Завдання: обчисліть площа прямокутника, якщо відомо, що його периметр дорівнює 40, а довжина b в 1,5 рази більше ширини a.
      
  2. Рішення.
    Використовуйте відому формулу периметра, він дорівнює сумі всіх сторін фігури. В даному випадку P = 2 • a + 2 • b. З початкових даних завдання ви знаєте, що b = 1,5 • a, отже, P = 2 • a + 2 • 1,5 • a = 5 • a, звідки a = 8. Знайдіть довжину b = 1,5 • 8 = 12.
  3. Запишіть формулу для площі прямокутника:
    S = a • b,
    Підставте відомі величини:
    S = 8 • * 12 = 96.
  4. Квадрат.
    Завдання: знайдіть площу квадрата, якщо периметр дорівнює 36.
      
  5. Рішення.
    Квадрат — окремий випадок прямокутника, де всі сторони рівні, отже, його периметр дорівнює 4 • a, звідки a = 8. Площа квадрата визначте за формулою S = a ² = 64.
  6. Трикутник.
    Задача: нехай дано довільний трикутник ABC, периметр якого дорівнює 29. Дізнайтеся величину його площі, якщо відомо, що висота BH, опущена на сторону AC, ділить її на відрізки з довжинами 3 і 4 см.
      
  7. Рішення.
    Для початку згадайте формулу площі для трикутника:
    S = 1/2 • c • h, де c — заснування і h — висота фігури. У нашому випадку підставою буде сторона AC, яка відома по умові завдання: AC = 3 +4 = 7, залишилося знайти висоту BH.
  8. Висота є перпендикуляром, проведеним до сторони з протилежної вершини, отже, вона ділити трикутник ABC на два прямокутних трикутника. Знаючи це властивість, розгляньте трикутник ABH. Згадайте формулу Піфагора, згідно з якою:
    AB ² = BH ² + AH ² = BH ² + 9 → AB = √ (h ² + 9).
    У трикутнику BHC за тим же принципом запишіть:
    BC ² = BH ² + HC ² = BH ² + 16 → BC = √ (h ² + 16).
  9. Застосуйте формулу периметра:
    P = AB + BC + AC
    Підставте величини, виражені через висоту:
    P = 29 = √ (h ² + 9) + √ (h ² + 16) + 7.
  10. Вирішити рівняння:
    √ (h ² + 9) + √ (h ² + 16) = 22 → [заміна t ² = h ² + 9]:
    √ (t ² + 7) = 22 — t, зведіть обидві сторони рівності в квадрат:
    t ² + 7 = 484 — 44 • t + t ² → t ≈ 10,84
    h ² + 9 = 117,5 → h ≈ 10,42
  11. Знайдіть площу трикутника ABC:
    S = 1/2 • 7 • 10,42 = 36,47.