Як обчислити похідну функції

Як обчислити похідну функції

Поняття похідної широко використовується в багатьох галузях науки. Тому диференціювання (обчислення похідної) — одна з базових задач математики. Для знаходження похідної будь-якої функції необхідно знати нескладні правила диференціювання.

Інструкція

  1. Для швидкого обчислення похідних насамперед вивчіть таблицю похідних основних елементарних функцій. Така таблиця похідних представлена ​​на малюнку. Потім визначте до якого типу відноситься ваша функція. Якщо це проста функція від одного змінного, знайдіть її в таблиці і обчисліть. Наприклад, (√ (x)) ‘= 1 / (2 × √ (x)).
  2. Крім цього необхідно вивчити основні правила знаходження похідних. Нехай f (x) і g (x) — деякі диференціюються функції, с — константа. Постійна величина завжди виноситься за знак похідної, тобто (з × f (x)) ‘= c × (f (x))’. Наприклад, (2 × sin (x)) ‘= 2 × (sin (x))’ = 2 × cos (x).
  3. Якщо вам потрібно знайти похідну суми або різниці двох функцій, то обчисліть похідні кожного доданка, а потім додайте їх, тобто (f (x) ± g (x ))’=( f (x ))’±( g (x) ) ‘. Наприклад, (x ² + x ³)’=( x ²)’+( x ³) ‘= 2 × x +3 × x ². Або, наприклад, (2 ^ x-sin (x ))’=( 2 ^ x) ‘- (sin (x))’ = 2 ^ x × ln2-cos (x).
  4. Обчислюйте похідну твори двох функцій за формулою (f (x) × g (x)) ‘= f (x)’ × g (x) + f (x) × g (x) ‘, тобто як суму добутків похідної першій функції на другу функцію і похідної другої функції на першу функцію. Наприклад, (√ (x) × tg (x ))’=( √ (x)) ‘× tg (x) + √ (x) × (tg (x))’ = tg (x) / (2 × √ (x)) + √ (x) / cos ² (x).
  5. Якщо ваша функція являє собою приватне двох функцій, тобто має вигляд f (x) / g (x), для обчислення її похідної використовуйте формулу (f (x) / g (x ))’=( f (x) ‘× g (x)-f (x) × g (x )’)/( g (x) ²). Наприклад, (sin (x) / x )’=(( sin (x) ‘) × x-sin (x) × x ²) / x ² = (cos (x) × x-sin (x)) / x ².
  6. Якщо вам потрібно обчислити похідну складної функції, тобто функції має вигляд f (g (x)), аргументом якої є будь-яка залежність, використовуйте наступне правило: (f (g (x )))’=( f (g (x ))’×( g (x)) ‘. Спочатку візьміть похідну по складному аргументу, вважаючи його простим, потім порахуйте похідну складного аргументу і результати перемножте. Таким способом ви знайдете похідну будь-якого ступеня вкладеності. Наприклад, (sin (x) ³) ‘= 3 × (sin (x ))²×( sin (x))’ = 3 × (sin (x)) ² × cos (x).
  7. Якщо ваша задача обчислити похідну вищого порядку, то обчислюйте послідовно похідні нижчого порядку. Наприклад, (x ³)»=(( x ³)’)'=( 3 × x ²) ‘= 6 × x.

Зверніть увагу

Знак ‘означає взяття похідної, а знак ^ — піднесення до степеня.