Як обчислити приватну похідну


 

Приватні похідні — основні складові повного диференціала функції. Це поняття відноситься до кожного з аргументів і передбачає обчислення виходячи з припущення, що інші аргументи в даному випадку є константами.



Інструкція

  1. Щоб знайти повний диференціал функції декількох змінних, потрібно обчислити приватну похідну по кожній з них. Методи вирішення аналогічні знаходженню похідної функції одного аргументу за тим винятком, що в якості одного або декількох постійних доданків або множників виступають інші змінні.
      
  2. Принципи визначення похідної базуються на диференціюванні найпростіших і тригонометричних функціях:
    • (x ^ a) ‘= a • x ^ (a-1);
    • (a ^ x) ‘= a ^ x • ln (a);
    • (sin х) ‘= cоs х;
    • (cоs x) ‘= — sin х;
    • (tg х) ‘= 1/cоs ² х;
    • (сtg х) ‘= — 1/sin ² х;
    • З ‘= 0, С — константа;
    • х ‘= 1.
      
  3. Похідна функції, яка містить змінні високого ступеня, визначається за формулою Лейбніца:
    f ^ (n) = Σ C (n) ^ k • f ^ (nk), де C (n) ^ k — біноміальні коефіцієнти.
      
  4. Розгляньте приклад: f = 2 • х • у ² + 5 • y • z ^ 5 + 3 • x ² • √ z.
      
  5. Визначте приватну похідну по х. При цьому кожна з доданків уявіть у вигляді функції від х. В даному випадку елементи 2 • у ², 5 • y • z ^ 5 і 3 • √ z будуть постійними величинами:
    f’x = 2 • y ² + 0 + 6 • x • √ z;
      
  6. При визначенні приватної похідною по y прийміть за постійні висловлювання 2 • x, 5 • z ^ 5 і 3 • x ² • √ z:
    f’y = 4 • x • у + 5 • z ^ 5 + 0;
      
  7. Приватна похідна по аргументу z передбачає оголошення константами множники 5 • y, 3 • x ² і доданок 2 • x • y ²:
    f’z = 0 + 25 • y • z ^ 4 + 3/2 • x ² / √ z.
      
  8. Приватні похідні використовуються при вирішенні диференціальних рівнянь. При цьому більше поширена запис ∂ f / ∂ x, яка на відміну від звичайної похідної df / dx сприймається як єдине позначення, а не як відношення приросту функції і аргументу. Елементи записи не можна розділити.
      
  9. Результати описаного прикладу можна записати у вигляді повного диференціала функції:
    df = ∂ f / ∂ x • dx + ∂ f / ∂ y • dу + ∂ f / ∂ z • dz = 2 • (y ² + 3 • x • √ z) • dx + (4 • x • y + 5 • z ^ 5) • dy + (25 • y • z ^ 4 + (3 • x ²) / (2 • √ z)) • dz.
      
  10. Щоб знайти приватні похідні вищих порядків, потрібно продифференцировав функцію відповідну кількість разів. Наприклад, повний диференціал другого порядку наведеної функції буде виглядати наступним чином:
    d ² f = (6 • √ z) • d ² x + (4 • x) • d ² у + (-3 / 4 • x ² / √ z ³) • d ² z.

    А диференціал третього порядку ось так:
    d ³ f = 0 • d ³ x + 0 • d ³ y + (9/8 • x ² / √ z ^ 5) • d ³ z і т.д.