Як обчислити ранг матриці

Як обчислити ранг матриці

Якщо в будь-матриці A взяти довільні k рядків і стовпців і скласти з елементів цих рядків і стовпців подматріци розміру k на k, то така подматріца називається мінором матриці A. Кількість рядків і стовпців в найбільшому такому мінорі, відмінному від нуля, називається рангом матриці.

Інструкція

  1. Для матриць невеликого розміру можна обчислити ранг методом перебору всіх мінорів. У загальному випадку це важко і зручно користуватися методом приведення матриці до трикутного виду. Трикутний вид — такий різновид матриці, при якій під головною діагоналлю матриці стоять тільки нульові елементи. Після приведення до трикутного вигляду досить підрахувати кількість ненульових рядків або стовпців (дивлячись чого з них виявиться менше). Це число і буде рангом матриці.
  2. У прикладі розглядається прямокутна матриця розмірності 3 на 4. Вже на цьому етапі зрозуміло, що ранг не буде вище 3, так як найменша з розмірностей дорівнює 3.
  3. Тепер треба, використовуючи елементарні операції, обнулити перший стовпець матриці, залишивши ненульовим тільки перший елемент у ньому. Для цього помножте перший рядок на 2 і відніміть поелементно з другого рядка, результат запишіть у другий рядок. Помножте перший рядок на -1 і відніміть з третього рядка, щоб обнулити перший елемент третього рядка.
  4. Залишилось обнулити другий елемент третього рядка, щоб отримати нульові елементи нижче головної діагоналі матриці. Для цього з третього рядка відніміть другу. В даному випадку елемент [3; 3] матриці також став рівним нулю, це випадковість, домагатися нулів на головній діагоналі спеціально не треба.

    Нульових рядків і стовпців в матриці не з’явилося, значить ранг матриці дорівнює 3.

Зверніть увагу

Кількості рядків і стовпців матриці називаються її розмірностями. Ранг матриці не може перевищувати меншу з її розмірностей.

Корисні поради

Необов’язково віднімати рядка послідовно. Робіть так, як вам зручніше. Більш того, можна проробляти перетворення не з рядками, а зі стовпчиками.