Як обчислити векторний твір


 

Векторне твір — одна з найбільш поширених дій, використовуваних у векторній алгебрі. Ця операція знайшла широке поширення в науці і техніці. Найбільш наочно і вдало це поняття використовується в теоретичній механіці.



Інструкція


  1. Як обчислити векторний твір

                            Розгляньте механічну завдання, для вирішення якої потрібне векторний твір. Як відомо, момент сили відносно центру дорівнює добутку цієї сили на її плече (див. рис. 1а). Плече h в ситуації, представленої на малюнку визначається за формулою
    h = | OP | sin (π-φ) = | OP | sinφ. Тут F прикладена до точки Р. З іншого боку Fh дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах ОР і F.
  2. Сила F викликає обертання Р відносно 0. В результаті виходить вектор, спрямований за відомим правилом «буравчика». Тому твір Fh є модулем вектора моменту сили OMo, який перпендикулярний площині, яка містить вектори F і OMo.
        
  3. За визначенням векторний твір a і b — це вектор с, позначається с = [а, b] (є й інші позначення, найчастіше через перемножування «хрестиком»).

    з повинен відповідати таким властивостям:

    1) з ортогонален (перпендикулярний) а і b;
    2) | c | = | a | | b | sinф, де ф кут між а і b;
    3) трійка веторов а, b і з права, тобто найкоротший поворот від a до b проводиться проти годинникової стрілки.
        


  4. Не вдаючись у подробиці, слід зазначити, що для векторного твори справедливі всі арифметичні дії крім властивості комутативності (перестановки), тобто [а, b] не дорівнює [b, а].

    Геометричний сенс векторного твору: його модуль дорівнює площі паралелограма (див. рис. 1b).


  5. Знаходження векторного твори согласнопо визначення інколи дуже важко. Щоб вирішити поставлену задачу, зручно використовувати дані в координатній формі. Нехай в декартових координатах:
    a (ax, ay, az) = ax * i + ay * j + az * k, ab (bx, by, bz) = bx * i + by * j + bz * k, де i, j, k — вектори -орти координатних осей.
  6. В даному випадку перемножування за правилами розкриття дужок алгебраїчного виразу. При цьому врахуйте, що sin (0) = 0, sin (π / 2) = 1, sin (3π / 2) = -1, модуль кожного орта дорівнює 1 і трійка i, j, k права, а самі вектори взаємно ортогональні . Тоді отримаєте:
    з = [а, b] = (ay * bz-az * by) i-(ax * bz-az * bx) j + (ax * by-ay * bx) k = с ((ay * bz-az * by ), (az * bx-ax * bz), (ax * by-* bx)). (1)

    Ця формула і є правилом обчислення векторного добутку в координатній формі. Її недолік — громіздкість і, як наслідок, важка запам’ятовуваність.
        



  7. Як обчислити векторний твір

                            Для спрощення методики обчислення векторного добутку використовуйте вектор-визначник, представлений на малюнку 2.
    З даних, наведених на малюнку, випливає, що на наступному кроці розкриття цього визначника, яке велося за його першому рядку, як раз і виникає алгоритм (1). Як бачите, тут немає особливих проблем із запам’ятовуванням.