Як обчислити визначник, розклавши його по елементах рядка


 

Визначник в матричної алгебри — поняття, необхідне для здійснення різних дій. Це число, яке дорівнює алгебраїчній сумі творів певних елементів квадратної матриці в залежності від її розмірності. Обчислити визначник можна, розклавши його по елементах рядка.



Інструкція

  1. Обчислити визначник матриці можна двома способами: за методом трикутника або розклавши його по елементах рядка або стовпця. У другому випадку це число виходить шляхом підсумовування творів з трьох складових: значень самих елементів, (-1) ^ k і мінорів матриці порядку n-1:

    Δ = Σ a_ij • (-1) ^ k • M_j, де k = i + j — сума номерів елемента, n — розмірність матриці.


  2. Визначник можна знайти тільки для квадратної матриці будь-якого порядку. Наприклад, якщо він дорівнює 1, то визначником буде єдиний елемент. Для матриці другого порядку починає діяти наведена вище формула. Розкладіть визначник за елементами першого рядка:

    Δ_2 = a11 • (-1) ² • M11 + a12 • (-1) ³ • M12.



  3.  Як обчислити визначник, розклавши його по елементах рядка

                  Мінор матриці — це теж матриця, порядок якої на 1 менше. Вона виходить з вихідної за допомогою алгоритму викреслювання відповідного рядка і стовпця. В даному випадку мінори будуть складатися з одного елемента, оскільки матриця має другу розмірність. Приберіть перший рядок і перший стовпець, і ви отримаєте M11 = a22. Викресліть перший рядок і другий стовпець, і знайдете M12 = a21. Тоді формула прийме наступний вигляд:

    Δ_2 = a11 • a22 — a12 • a21.



  4.  Як обчислити визначник, розклавши його по елементах рядка

                  Визначник другого порядку — один з найпоширеніших в лінійній алгебрі, тому ця формула використовується дуже часто і не вимагає постійного виведення. Таким же чином можна обчислити визначник третього порядку, в цьому випадку вираз буде більш громіздким і складатися з трьох складових: елементів першого рядка та їх мінорів:

    Δ_3 = a11 • (-1) ² • M11 + a12 • (-1) ³ • M12 + a13 • (-1) ^ 4 • M13.


  5. Очевидно, що мінори такої матриці будуть мати другий порядок, отже, їх можна розрахувати як визначник другого порядку за правилом, наведеним раніше. Послідовно викреслюється: рядок1 + столбец1, рядок1 + столбец2 і рядок1 + столбец3:

    Δ_3 = a11 • (a22 • a33 — a23 • a32) — a12 • (a21 • a33 — a23 • a31) + a13 • (a21 • a32 — a22 • a31) =
    = A11 • a22 • a33 + a12 • a23 • a31 + a13 • a21 • a32 — a11 • a23 • a32 — a12 • a21 • a33 — a13 • a22 • a31.