Як обчислювати комплексні числа

Як обчислювати комплексні числа

Комплексні числа — подальше розширення поняття числа в порівнянні з дійсними числами. Введення в математику комплексних чисел дозволило надати закінченого вигляду багатьом закономірностям і формулами, а також виявило глибокі зв’язки між різними областями математичної науки.

Інструкція

  1. Як відомо, ніяке дійсне число не може бути квадратним коренем з негативного числа, тобто, якщо b <0, то неможливо знайти таке a, щоб a ^ 2 = b.

    У зв’язку з цим було вирішено ввести нову одиницю, за допомогою якої можна було б висловити таке a. Вона отримала назву уявної одиниці і позначення i. Уявна одиниця дорівнює квадратному кореню з -1.
  2. Оскільки i ^ 2 = -1, то √ (-b ^ 2) = √ ((-1) * b ^ 2) = √ (-1) * √ (b ^ 2) = ib. Так вводиться поняття уявного числа. Будь-яке уявне число можна виразити у вигляді ib, де b — дійсне число.
  3. Дійсні числа можна представити у вигляді числової осі від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Уявні числа виявилося зручно представити у вигляді аналогічної осі, перпендикулярної осі дійсних чисел. Разом вони становлять координати числової площині.

    При цьому кожній точці числової площині з координатами (a, b) відповідає одне й тільки одне комплексне число виду a + ib, де a і b — дійсні числа. Перший доданок цієї суми називається дійсною частиною комплексного числа, друге — уявної частиною.
  4. Якщо a = 0, то комплексне число називається чисто уявним. Якщо b = 0, то число називається дійсним.
  5. Знак складання між дійсною і уявною частинами комплексного числа не позначає їх арифметичної суми. Швидше комплексне число можна представити у вигляді вектора, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці (a, b).

    Як у кожного вектора, у комплексного числа є абсолютне значення, чи модуль. Якщо z = x + iy, то | z | = √ (x2 + y ^ 2).
  6. Два комплексних числа вважаються рівними тільки в тому випадку, якщо дійсна частина одного дорівнює дійсної частини іншого і уявна частина одного дорівнює уявної частини іншого, тобто:

    z1 = z2, якщо x1 = x2 і y1 = y2.

    Однак для комплексних чисел не мають сенсу знаки нерівності, тобто не можна сказати, що z1 <z2 або z1> z2. Порівнювати таким чином можна тільки модулі комплексних чисел.
  7. Якщо z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 — комплексні числа, то:

    z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);

    z1 — z2 = (x1 — x2) + i (y1 — y2);

    Легко помітити, що додавання і віднімання комплексних чисел підпорядковується тим же правилом, що додавання і віднімання векторів.
  8. Добуток двох комплексних чисел дорівнює:

    z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.

    Оскільки i ^ 2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:

    (X1 * x2 — y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).
  9. Операції зведення в ступінь і добування кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Проте в комплексній області для будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b ^ n = a, тобто n коренів n-го ступеня.

    Зокрема, це означає, що будь-яке алгебраїчне рівняння n-го ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і дійсними.