Як обчислювати координати точок перетину парабол


 

Параболи на площині можуть перетинатися в одній або двох точках, або взагалі не мати точок перетину. Пошук таких точок — типова задача алгебри, що входить в програму шкільного курсу.



Інструкція

  1. Переконайтеся в тому, що за умовами завдання вам відомі рівняння обох парабол. Парабола — це крива на площині, що задається рівнянням наступного виду y = ax ² + bx + c (формула 1), де a, b і c — деякі довільні коефіцієнти, причому коефіцієнт a ≠ 0. Таким чином, дві параболи будуть задані за допомогою формул y = ax ² + bx + c і y = dx ² + ex + f. Приклад — задані параболи з формулами y = 2x ² — x — 3 і y = x ²-x + 1.
  2. Тепер відніміть з одного з рівнянь параболи інше. Проведіть, таким чином, розрахунок такого вигляду: ax ² + bx + c — (dx ² + ex + f) = (ad) x ² + (be) x + (cf). Вийшов поліном другого ступеня, коефіцієнти якого ви легко можете вирахувати. Щоб знайти координати точок перетину парабол, досить поставити знак рівності нулю і знайти коріння отриманого квадратного рівняння (ad) x ² + (be) x + (cf) = 0 (формула 2). Для наведеного вище прикладу отримаємо y = (2-1) x ²-x + x + (-3 — 1) = x ² — 4 = 0.
  3. Коріння квадратного рівняння (формула 2) шукаємо за відповідною формулою, яка є в будь-якому підручнику алгебри. Для наведеного прикладу існує два кореня x = 2 та x = -2. Крім того, у формулі 2 значення коефіцієнта при квадратичному члені (ad) може бути рівним нулю. В цьому випадку рівняння виявиться не квадратним, а лінійним і завжди буде мати один корінь. Зауважте, в загальному випадку квадратне рівняння (формула 2) може мати два кореня, один корінь, або зовсім не мати жодного — в останньому випадку параболи не перетинаються і завдання не має рішення.
  4. Якщо, все ж, знайдений один або два корені, їх значення потрібно підставити в формулу 1. У нашому прикладі підставляємо спочатку x = 2, отримуємо y = 3, потім підставляємо x = -2, отримуємо y = 7. Дві отримані точки на площині (2, 3) і (-2; 7) і є координатами перетину парабол. Інших точок перетину у цих парабол немає.

Зверніть увагу

Особливим випадком є ​​пошук точок перетину тотожно рівних парабол, тобто двох парабол, що задаються однаковими рівняннями. В цьому випадку можна сказати, що параболи збігаються, всі крапки у них спільні.