Як обчислювати визначник матриці

Як обчислювати визначник матриці

Визначник або детермінант матриці — це деяке число, яке вираховується з особливих формул, складеним з комбінацій її членів.

Інструкція

  1. Відразу скажемо, що визначник можна обчислити тільки для квадратної матриці.

    Визначник матриці будемо розраховувати наступним чином. Це буде сума коефіцієнтів, що стоять в першому рядку, кожен з яких помножимо на визначник матриці, отриманої з вихідної викреслюванням стовпця і рядка, в яких стоїть множимо коефіцієнт. Знаки у цих співмножників будуть чергуватися (у першого буде «+», у другого буде «-» і т.д.).

    Зазначимо, що ця формула вірна для елементів будь-яких рядків — необов’язково брати першу, просто це зручніше через наочності.
  2. Є і другий спосіб. Існує певний алгоритм обчислення.

    Спочатку введемо поняття головної діагоналі матриці — це елементи, які стоять по діагоналі, починаючи з а11 і закінчуючи а (nn) (тобто з лівого верхнього кута в правий нижній).

    Отже, повернемося до алгоритму.

    Для матриці з одного елемента визначник дорівнюватиме значенню цього елемента.

    Для матриці 2х2 це буде різниця творів елементів, що стоять на головній і побічної діагоналі (за аналогією, побічна діагональ йде з правого верхнього кута в лівий нижній).

    Для матриці 3х3 це буде надходять так: перші два стовпчики підписують праворуч від третього ще раз. Виходить як би матриця 3х5. Саме як би, це просто прийом. Далі підсумовуються твори елементів по получившимся трьом головним діагоналях і трьом побічним. Ці суми віднімаються. Отримане число і буде визначником матриці.

    На картинці зображений інший варіант обчислення цим же методом, просто тут обходимося без дописування, а просто перемножуємо елементи і віднімаємо суми добутків за вказаною схемою.
  3. Для матриці 4х4, 5х5 і т.д. таке правило те ж буде виконуватися, але тут виникають складнощі у зв’язку з великою кількістю чисел і перемножування / складань, які треба виконати, так що зростає ризик зробити помилку. Тому в таких випадках вигідніше використовувати перший спосіб.

    Зазначимо, що визначник одиничної матриці дорівнює одиниці, в чому неважко переконатися.