Як отримати зворотну матрицю

Як отримати зворотну матрицю

Для кожної невиродженої (з визначником | A |, не рівному нулю) квадратної матриці А існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ (-1), така, що (А ^ (-1)) А = А, А ^ (-1 ) = Е.

Інструкція

  1. Е називається одиничною матрицею. Вона складається з одиниць на головній діагоналі — інше нулі. Обчислюється А ^ (-1) наступним чином (див. рис.1.).

    Тут А (ij) — алгебраїчне доповнення елемента а (ij) визначника матриці А. А (ij) отримують видаленням з | A | рядка і стовпця, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j).

    Фактично приєднана матриця — це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів А. Транспонування — це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки). Tранспонірованная матриця позначається А ^ T.
  2. Найпростішими є матриці розміру 2х2. Тут будь-яке алгебраїчне доповнення — просто протилежний по діагоналі елемент, узятий зі знаком «+», якщо сума індексів його номера парна, і зі знаком «-», якщо непарна. Таким чином, щоб записати зворотну матрицю, на головній діагоналі вихідної матриці, потрібно поміняти місцями її елементи, а на побічної діагоналі — залишити їх на місці, але змінити знак, а потім все поділити на | A |.
  3. Приклад 1. Знайти обернену матрицю A ^ (-1), представлену на малюнку 2.
  4. Визначник цієї матриці не дорівнює нулю (| A | = 6) (за правилом Саррюса, воно ж правило трикутників). Це суттєво, оскільки А не повинна бути виродженою. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення матриці А і приєднану матрицю для А (див. рис. 3).
  5. При більшої розмірності процес обчислення зворотної матриці стає занадто громіздким. Тому в таких випадках слід вдаватися до допомоги спеціалізованих комп’ютерних програм.