Як перевірити функцію на парність і непарність


 

Більшу частину шкільної програми математики займає дослідження функцій, зокрема, перевірка на парність і непарність. Цей метод є важливою складовою процесу вивчення характеру поведінки функції та побудови її графіка.


Інструкція

  1. Властивості парності і непарність функції визначається виходячи з впливу знака аргументу на її значення. Цей вплив відображається на графіку функції в певній симетрії. Іншими словами, виконується властивість парності, якщо f (-x) = f (x), тобто знак аргументу не впливає на значення функції, і непарності, якщо справедливо рівність f (-x) =-f (x).
        
  2. Парний функція графічно виглядає симетричною відносно точки перетину координатних осей, парна — щодо осі ординат. Прикладом парної функції може служити парабола x ², непарній — f = x ³.
        
  3. Приклад № 1
    Дослідити на парність функцію x ² / (4 · x ² — 1).

    Рішення:
    Підставте в дану функцію-x замість x. Ви побачите, що знак функції не зміниться, оскільки аргумент в обох випадках присутня в парному ступеня, яка нейтралізує негативний знак. Отже, досліджувана функція є парною.
        

  4. Приклад № 2
    Перевірити функцію на парність і непарність: f =-x ² + 5 · x.

    Рішення:
    Як і в попередньому прикладі, підставте-x замість x: f (-x) =-x ² — 5 · x. Очевидно, що f (x) ≠ f (-x) і f (-x) ≠-f (x), отже, функція не має властивості ні парності, ні непарності. Така функція називається індиферентної або функцією загального вигляду.
        

  5. Дослідити функцію на парність і непарність можна також наочним чином при побудові графіка або знаходженні області визначення функції. У першому прикладі областю визначення є безліч x ∈ (- ∞; 1/2) ∪ (1/2; + ∞). Графік функції симетричний відносно осі Oy, значить, функція парна.
        
  6. У курсі математики спочатку вивчають властивості елементарних функцій, а потім отримані знання переносять на дослідження більш складних функцій. Елементарними є статечні функції з цілим показником, показові виду a ^ x при a> 0, логарифмічні і тригонометричні функції.