Як побудувати асимптоту

Як побудувати асимптоту

Дослідження будь-якої функції, наприклад f (x), на визначення у неї максимуму і мінімуму, точок перегину, набагато полегшує роботу з побудови графіка самої функції. Але на кривій функції f (x) мають бути присутніми асимптоти. Перш ніж побудувати графік функції, рекомендується перевірити її на наявність асимптот.

Вам знадобиться

- Лінійка;
- Олівець;
- Калькулятор.

Інструкція

  1. Перед початком пошуку асимптот, знайдіть область визначення вашої функції та наявність точок розриву.

    При x = а функція f (x) має точку розриву в тому випадку, якщо lim (x прагне до а) f (х) не дорівнює а.

    1. Точка a — точка устранімим розриву в тому випадку, якщо функція в точці а є невизначеною і виконується така умова:

    Lim (х прагне до а -0) f (x) = Lim (х прагне до а +0).

    2. Точка a — точка розриву першого роду, якщо існують:

    Lim (х прагне до а -0) f (x) і Lim (х прагне до а +0), коли фактично виконується друга умова безперервності, при цьому не виконуються інші або хоча б одне з них.

    3. a є точкою розриву другого роду, у разі якщо один з меж Lim (х прагне до а -0) f (x) = + / — нескінченність чи Lim (х прагне до а +0) = + / — нескінченність.
  2. Визначте наявність вертикальних асимптот. Вертикальні асимптоти визначайте за допомогою точок розриву другого роду і межами обумовленої області функції, яку досліджуєте. Отримуєте f (x0 + / -0) = + / — нескінченність, або f (x0 ± 0) = + нескінченність, або f (x0 ± 0) = — ∞.
  3. Визначте наявність горизонтальних асимптот.

    Якщо у вашої функції виконується умова — Lim (при х прагне до  ) f (x) = b, то у = b-горизонтальна асимптота функції кривої y = f (x), де:

    1. права асимптота — при х, який прагне до позитивної нескінченності;

    2. ліва асимптота — при х, який прагне до негативної нескінченності;

    3. двостороння асимптота — межі при х, який прагне до  , рівні.
  4. Визначте наявність похилих асимптот.

    Рівняння для похилій асимптоти y = f (x) визначайте рівнянням y = k • x + b. При цьому:

    1. k дорівнює lim (при x прагне до  ) від функції (f (x) / x);

    2. b дорівнює lim (при x прагне до  ) від функції [f (x) - k * x].

     Для того щоб y = f (x) мала похилу асимптоту y = k • x + b, необхідно і достатньо, щоб існували кінцеві межі, які вказані вище.

    Якщо при визначенні похилій асимптоти ви отримали умова k = 0, то, відповідно, y = b, і ви отримуєте горизонтальну асимптоту.

Зверніть увагу

Суворо дотримуйтеся алгоритму дослідження функції, тоді знайти правильні асимптоти не складе для вас праці.

Корисні поради

Графік функції, яка є безперервною по всій числовій прямій, не має вертикальних асимптот. Асимптоту можна представити як пряму, відстань до якої від досліджуваного графіка функції, є прагнуть до нуля.